2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение01.07.2014, 11:24 


30/06/14
47
Это не доказательство ВТФ, а просто поиск свойств чисел $x$,$y$,$z$ которые должны удовлетворять формуле
$x^3+y^3=z^3$, и быть при этом натуральными

Пишу тут с целью убедиться в правильности или неправильности моих мыслей. Первоначально имелись ввиду все нечетные степени, но в соответствии с правилами форума пришлось исправить для конкретного варианта с 3 степенью.

Гипотеза 1. предположим что ВТФ для 3 степени имеет решение. Тогда в уравнении
$x^3+y^3=z^3$
$z$ и одно из ($x$ или $y$) являются точными квадратами. Т.е. уравнение $x^3+y^3=z^3$ равносильно уравнению $a^6+y^3=c^6$, где $a$ и $c$ -также являются натуральными числами.

Доказательство:
Рассмотрим минимальный вариант решения $x^3+y^3=z^3$, в котором $x$,$y$,$z$ - натуральные, попарно взаимно простые.

Делаем такое преобразование:
$(x\sqrt x)^2+(x\sqrt y)^2=(z\sqrt z)^2$

Находим его решения по формулам нахождения Пифгоровых троек, с тем отличием, что числа в этих тройках могут быть иррациональными.

$x\sqrt x=m^2-n^2$
$y\sqrt y=2mn$
$z\sqrt z=m^2+n^2$

рассмотрим $y\sqrt y=2mn$, так как $y^3=(2mn)^2$ - целое число, то иррациональность $2mn$ соответствует наличию среди его множителей квадратного корня. Т.е. имеются такие варианты:
1. $m$,$n$ - целые, приводит к тому что, корни уравнения
$x^3+y^3=z^3$ являются квадратами, т.е. уравнение преобразовывается в $a^6+b^6=c^6$

2. $m$ - целое, $n$ - иррациональное вида $n=p\sqrt s$ или наоборот, или даже оба иррациональные с иррациональностью в виде квадратного корня, то это приводит к тому что x и z являются квадратами, так как $x\sqrt x=m^2-n^2$ и $z\sqrt z=m^2+n^2$ натуральные. т.е.
$a^6+y^3=c^6$
3. оба иррациональные вида $m=r\sqrt[4] s$ , $n=p\sqrt[4] s$
приводит к тому, что $x^3$, $y^3$, $z^3$ имеют общий делитель $s$, что не соответствует рассматриваемому варианту.
4. все прочие варианты с общим видом: $m=rs^a$, $n=ps^b$, где $a+b=\frac{1}{2}$, исключающие предыдущие варианты. Приводит к тому что
$m^2-n^2$ и $m^2+n^2$ имеют иррациональность отличную от квадратного корня, что не соответствует требуемой иррациональности.


В результате получается, варианты 3 и 4 невозможны, а вариант 1 не опровергает утверждение варианта 2
Поэтому в уравнении:
$x^3+y^3=z^3$

$x=a^2$
$y=2^kb$
$z=c^2$

где $a$,$b$,$c$ - нечетные, натуральные числа. $k$ - натуральное.

т.е. $x$ и $z$ являются квадратами натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение01.07.2014, 13:05 


30/06/14
47
Вобщем если привести аналогию формулам поиска пифагоровых троек для ВТФ 3 степени
$x^3+y^3=z^3$

то получается такое:

$x=\sqrt[3] {(2p^3-s^3)^2}$
$y=2ps$
$z=\sqrt[3] {(2p^3+s^3)^2}$

отсюда лучше понятно чем из предыдущего поста, почему $x$ и $z$ являются квадратами

Так как $x$ и $z$ являются квадратами во всех уравнениях ВТФ с нечетными степенями, то доказательство ВТФ для любых простых степеней, чего достаточно для доказания ВТФ в целом, сводится к доказательству того, что система уравнений:
$a^2+b^2=c^2$
$b^2+c^2=d^2$
не имеет решений для натуральных $a$,$b$,$c$,$d$

Вроде выглядит значительно проще, да и степени фиксированные и равны 2.

PS Когда писал про систему - понятия не имел как доказать, но вот сейчас понял что оно элементарно доказывается любимым Ферма методом - т.е. методом бесконечного спуска. Правда под рукой нет ни ручки, ни бумаги. Но завтра проверю. А если окажется так - то получится что доказательство ВТФ займет от силы 1 страницу, а не 130, как у Э.Уайлса, причем в понятном всем виде.

PPS С другой стороны, так как переход от ВТФ к указанной ниже системе оказался довольно прост, и решение системы возможно очень простое, то я далек от мысли что такое никому, кроме самого Ферма, ранее не приходило в голову. Или может я где-то ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.07.2014, 13:11 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

По правилам раздела, Ваши рассуждения должны быть сперва явно выписаны и проверены для $n=3$ (у Вас $n=1$).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.07.2014, 14:15 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение01.07.2014, 16:29 


20/03/14
12041
 i  glukmaker
Прошу прощения, тема преждевременно была вынесена из Карантина. Как закончите правку и соберете окончательный вариант полностью только в стартовом посте, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тема будет возвращена.

 i  Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение02.07.2014, 20:25 


10/08/11
671
glukmaker в сообщении #882655 писал(а):
$x\sqrt x=m^2-n^2$
$y\sqrt y=2mn$
$z\sqrt z=m^2+n^2$

Уважаемый glukmaker!
По формулам Вы находите три куба для УФ. Это не корректно, так как $m^2$ при натуральном $m$ не может быть центром симметрии для одновременного образования разных кубов прибавлением и вычитанием одного и того же числа $n^2$. В Вашем случае центр симметрии равен $\frac{m^2+n^2}{2}$. Действительно,$a^3+b^3=(\frac{m^2+n^2}{2}-n^2)+(\frac{m^2+n^2}{2}+n^2)=m^2+n^2$. Но это не имеет ни какого отношения к формулам для нахождения Пифагоровых троек.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение02.07.2014, 22:09 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
glukmaker в сообщении #882655 писал(а):
4. все прочие варианты с общим видом: $m=rs^a$, $n=ps^b$, где $a+b=\frac{1}{2}$, исключающие предыдущие варианты. Приводит к тому что
$m^2-n^2$ и $m^2+n^2$ имеют иррациональность отличную от квадратного корня
Каким образом приводит?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение03.07.2014, 05:21 


10/08/11
671
glukmaker в сообщении #882655 писал(а):
Делаем такое преобразование:
$(x\sqrt x)^2+(x\sqrt y)^2=(z\sqrt z)^2$

Для разъяснения предыдущего сообщения. Числа $m,n$ создают равенства для УФ2, но не поставляют решений для других всевозможных равенств. Так как иначе (по Вашей логике) $(\sqrt{5})^2+(\sqrt{7})^2=(\sqrt{12})^2$, поэтому числа $5,7,12$ являются квадратами.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение03.07.2014, 23:17 


30/06/14
47
venco в сообщении #883339 писал(а):
glukmaker в сообщении #882655 писал(а):
4. все прочие варианты с общим видом: $m=rs^a$, $n=ps^b$, где $a+b=\frac{1}{2}$, исключающие предыдущие варианты. Приводит к тому что
$m^2-n^2$ и $m^2+n^2$ имеют иррациональность отличную от квадратного корня
Каким образом приводит?


Приводит. Но проблема в том что я упустил из виду пятый вариант, а он действительно имеет место быть. И вот он полностью портит все мое доказательство. Собственно что касается этой темы, я и сам чуть раньше понял что все неверно, и тему стоило бы удалить.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение04.07.2014, 00:07 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
glukmaker в сообщении #883752 писал(а):
venco в сообщении #883339 писал(а):
glukmaker в сообщении #882655 писал(а):
4. все прочие варианты с общим видом: $m=rs^a$, $n=ps^b$, где $a+b=\frac{1}{2}$, исключающие предыдущие варианты. Приводит к тому что
$m^2-n^2$ и $m^2+n^2$ имеют иррациональность отличную от квадратного корня
Каким образом приводит?


Приводит.
Каким образом?

glukmaker в сообщении #883752 писал(а):
Но проблема в том что я упустил из виду пятый вариант
Пятый вариант полностью покрывается четвёртым, т.к. под него походит что угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение04.07.2014, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
glukmaker в сообщении #882655 писал(а):
все прочие варианты с общим видом:


To,что написано, это не ВСЕ прочие варианты.
Не разобран случай, когда $m^2$ и тп
являются суммами нескольких иррациональностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение04.07.2014, 00:46 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
shwedka в сообщении #883766 писал(а):
To,что написано, это не ВСЕ прочие варианты.
Не разобран случай, когда $m^2$ и тп
являются суммами нескольких иррациональностей.
Вы не заметили, что в виде $rs^a$, где $a$ - действительное число, можно представить любое действительное число, в том числе и сумму нескольких иррациональностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ. Поиск свойств чисел.
Сообщение04.07.2014, 05:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
venco в сообщении #883769 писал(а):
shwedka в сообщении #883766 писал(а):
To,что написано, это не ВСЕ прочие варианты.
Не разобран случай, когда $m^2$ и тп
являются суммами нескольких иррациональностей.
Вы не заметили, что в виде $rs^a$, где $a$ - действительное число, можно представить любое действительное число, в том числе и сумму нескольких иррациональностей.

Вот этот случай и не разобран.
Написано
Цитата:
Приводит к тому что

Как приводит-- не написано.
рассуждение отсутствует

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group