Вариационное исчисление.Функционалы высоких порядков.

[svv]

Вот два функционала.
Хороший: $\int\limits_0^1 (y'^2-y) dx$
Плохой: $\int\limits_0^1 (y''-y) dx$
Пусть $y(0)=y(1)=0$.

Я Вам даю честное пионерское слово, что в обоих случаях, если экстремаль существует, она имеет вид $y(x)=a(x^2-x)$. Теперь Вы можете забыть на время вариационное исчисление, потому что с моим заверением Вам фактически надо решить не вариационную задачу, чтобы найти функцию $y(x)$, а обычную задачу на экстремум, чтобы найти число $a$. Подставьте $y(x)$ в каждый из функционалов и посмотрите, какая функция от $a$ получается, имеет ли она экстремумы. Очень полезное упражнение, чтобы почувствовать суть вариационных задач.

[fill240]

Хорошо,считаю,как вы сказали
Первый функционал посчитал-вариационным,действительно,вы правы

-- 03.07.2014, 01:58 --

Извините,но я туплю,получил выражение
$a^24x^2-4a^2x^2+a^2-ax^2+ax=0$
Но не вижу,как преобразовать,что бы зависела только от $a$
Дальше,как я понимаю,надо брать производную по $a$,так я найду стационарные точки
Потом должен найти значение $a$,где функция не существует или $=0$

-- 03.07.2014, 02:03 --

если брать производную по $x$,то все хорошо получается

-- 03.07.2014, 02:08 --

тогда я получу $ a(4a-1)(2x-1)=0$
в точках $a=0, a=1/4, x=1/2$

-- 03.07.2014, 02:12 --

Параметр $a=1/4$,совпал с решением 1го функционала
$(x-x^2)/4$
Единственное,что знак получился немного иной(при преобразовании к вашей форме $-(x^2-x)/4$),но в целом совпало

-- 03.07.2014, 02:13 --

И расскажите пожалуйста-как вы такой вид экстремали получили?

[svv]

Вот это $a^24x^2-4a^2x+a^2-ax^2+ax$ Вы нашли правильно (если не считать описки в степени), но наш функционал — это интеграл, а Вы нашли всего лишь подинтегральную функцию. (И нулю она не равна.) Теперь подставляем это под интеграл и честно находим его:
$\int\limits_0^1(a^24x^2-4a^2x+a^2-ax^2+ax)dx=$
$=a^2\int\limits_0^1(4x^2-4x+1)dx+a\int\limits_0^1(x-x^2)dx=\dfrac {a^2} 3+\dfrac a 6$
Но ведь это простая функция $a$, мы такие давно знаем и умеем. (Функционал не должен зависеть от $x$, оно входит только в качестве переменной интегрирования, пока интеграл не взяли.) Нет ли у неё, скажем, минимального значения? При каком $a$ оно достигается?

[fill240]

Спасибо,за подробности
(Интегрировать я умею).при$ a=0 $и $a=-1/2$
Так,как нас интересует минимальное,то второе.

как я понимаю,приравнять функцию $a $к $0$

[svv]

Её производную. Экстремум ведь!
Вот на графике хорошо видно, что при некотором $a$ имеется минимум, причем один.

[fill240]

Ага,понял.

посчитал
$a=-1/4$

-- 03.07.2014, 02:37 --

И как раз попал в ответ,для "хорошего" функционала.
А как поступать с "плохим"?
уравнение эйлера я написал,решил.(сейчас продублирую)

-- 03.07.2014, 02:39 --

Странно,я просчитал второй(плохой),функционал,и там уравнение эйлера получилось неразрешимым

-- 03.07.2014, 02:41 --

$\ -d(F'_{y'}(x))/dx=0 \ d^2(F'_{y''}(x))/dx^2=0 \ (F'_{y}(x))=1$

[svv]

Да, правильно. Функция $y=-\frac 1 4 (x^2-x)$ замечательна тем, что это экстремаль и, более того, она обеспечивает минимум «хорошего» функционала: если для неё вычислить $\int\limits_0^1 (y'^2-y)dx$, мы получим значение меньшее, чем для всех других функций. Такие функции и ценятся в вариационном исчислении, потому что многие законы природы можно сформулировать в виде «некоторый функционал имеет экстремаль», и в соответствующих ситуациях из множества возможных функций природа выбирает именно эти.

Убедитесь, пожалуйста, что если аналогичным образом подставить $y=a(x^2-x)$ в «плохой» функционал $\int\limits_0^1 (y''-y) dx$ и посмотреть, как он зависит от параметра $a$, ситуация будет совсем иной.

[fill240]

Так,проделал все тоже самое.
получил

Пересчитываю-ошибся в знаке

-- 03.07.2014, 03:15 --

пересчитал,получилось,что производная функции $F$ по $a$ $=17/6$

-- 03.07.2014, 03:16 --

т.е не существует экстремума?

[svv]

У меня так:
$y=a(x^2-x)$
$y'=2ax-a$
$y''=2a$
$y''-y=2a-a(x^2-x)=a(2+x-x^2)$
$\int\limits_0^1(y''-y)dx=a\int\limits_0^1(2+x-x^2)dx=\frac {13}6 a$
Функционал линейно зависит от $a$, и потому можно даже не надеяться на то, что при некотором $a$ он будет иметь экстремаль. Функция $\frac {13}6 a$ не имеет ни максимума, ни минимума. Приравнивая производную по $a$ нулю, получим такое же неразрешимое уравнение, как в случае уравнения Эйлера. Рассмотрение более широкого класса функций, чем $a(x^2-x)$, ситуацию уже не изменит.

[fill240]

Я описался,в знаке

[svv]

Спасибо, исправил.
На сегодня всё, у нас уже пол-третьего. Желаю Вам успехов.

[fill240]

спасибо большое,я сейчас повторю устойчивость систем и функцию грина,и буду ложиться спать

-- 03.07.2014, 03:27 --

Только проблема с высоким порядком осталась

[fill240]

Спасибо еще раз,сегодня все таки написал контрольную

[Утундрий]

Давайте сперва на более простом примере разберёмся, кто такие "естественные" граничные условия.

Пусть сказано $\delta \int\limits_0^1 {\left( {\dot x^2 - x^2 } \right)dt} = 0$ и $x\left( 0 \right) = 1$, а больше ничего не сказано. Как быть?

А вот как:

$$0 = \int\limits_0^1 {\left( {\dot x\delta \dot x - x\delta x} \right)dt} = \left. {\dot x\delta x} \right|_1 - \left. {\dot x\delta x} \right|_0 - \int\limits_0^1 {\left( {\ddot x + x} \right)\delta xdt} $$

С интегралом поступать понятно как: поскольку вариация произвольна, то можно выбрать "шапочку", откуда... бла-бла-бла... $\ddot x + x = 0$. Также понятно, что $\left. {\delta x} \right|_0 = 0$ (ну, естественно, $x\left( 0 \right)$ же равно $1$). А вот $\left. {\delta x} \right|_1 \ne 0$. Естественно, $x\left( 1 \right)$ же не задано! А тогда... Поскольку $\left. {\dot x\delta x} \right|_1$ должно быть равно нулю... Естественно (нет, ну естественно же?) естественное условие будет, естественно, $\dot x\left( 1 \right) = 0$. Вуаля.

А теперь примените всё это к своему конкретному чудищу.