Несмещённость, эффективность оценки распределения Паскаля

[Nyanfox]

ShMaxG
Пусть $T_n\sqrt{n}\quad\text{а.н.}\quad N(0, \sigma^2_T)$. Тогда, кажется, $\frac{\sigma_T^2(\theta)}{n}$ и есть та самая асимптотическая дисперсия, если я правильно понял задание. Насколько я знаю, она может быть равна, например, $\frac{\left[g'(p)\right]^2}{n\cdot i(p)}$ для ОМП $g(\check{p})$.

Обратной крышкой я обозначаю ОМП.
В итоге, для данного распределения существует в качестве эффективной оценки только $\bar{X}/r$, и существует она только для заданного выше $\tau(\theta)$, всё это с точностью до линейного преобразования. Это, собственно, и является доказательством, что все остальные оценки в рамках данной модели не являются эффективными.

[ShMaxG]

Давайте пока вернемся к вашему первому посту. Мне тут подсказали, что условие задачи неплохо было бы уточнить. У вас была задача проверить на несмещенность и эффективность оценку параметра $p$. Какую оценку? Вы почему-то рассматриваете ОМП. Это так по условию было задано, или это вы сами решили ее проверить почему-то? Далее, уточните пожалуйста понятие эффективности оценки. Что вы под этим понимаете, несмещенность с равномерно минимальной дисперсией (у Ивченко и Медведева это оптимальная оценка в классе несмещенных оценок) или достижение равенства в неравенстве Рао-Крамера?

[Nyanfox]

ShMaxG
В общем, задание состоит в следующем: проверить, являются ли ОМП, ОММ и ОМК несмещёнными, состоятельными, эффективными? С ОМК всё достаточно плохо, к нему можно это не применять. Я нашёл ОМП и ОММ, они у меня совпали: $\frac{2}{2+\bar{X}}$. Состоятельность я проверил по ЗБЧ, а вот с несмещённостью и эффективностью возникли проблемы, но мы вроде разобрались.
Насчёт эффективности: я так понял, мы в данной теме использовали понятие эффективности как несмещённость с равномерно минимальной дисперсией. Не уверен, что так и надо (на практике я обычно просто находил дисперсии от оценок и сравнивал их порядок роста, другие случаи мне не попадались, поэтому я особо не задумывался).
А вот, где нужно сравнить точность различных оценок с помощью асимптотических дисперсий, там, по-видимому, как раз применяется неравенство Рао-Крамера.

[ShMaxG]

Nyanfox в сообщении #883136 писал(а):

В общем, задание состоит в следующем: проверить, являются ли ОМП, ОММ и ОМК несмещёнными, состоятельными, эффективными? С ОМК всё достаточно плохо, к нему можно это не применять. Я нашёл ОМП и ОММ, они у меня совпали: $\frac{2}{2+\bar{X}}$. Состоятельность я проверил по ЗБЧ, а вот с несмещённостью и эффективностью возникли проблемы, но мы вроде разобрались.

ОММ -- оценка по методу моментов, я так понимаю? А как расшифровывается ОМК? Ну хорошо, если проверить следовало именно эти оценки, то ок.

Nyanfox в сообщении #883136 писал(а):

Насчёт эффективности: я так понял, мы в данной теме использовали понятие эффективности как несмещённость с равомерно минимальной дисперсией.

Нет. Я всегда понимал эффективность, как достижение равенства в неравенстве Рао-Крамера. И всюду в этой теме эффективность я понимал именно так. Хотя, как выяснилось, иногда (если не всегда) это называют R-эффективностью, а просто эффективностью -- несмещенность с равномерно минимальной дисперсией. Ваша ОМП смещена, так что в этом смысле она эффективной не является по определению. Мы же выяснили, что она не является и R-эффективной. Кстати говоря, то, что в рамках одной статистической модели может существовать только одна параметрическая функция с одной R-эффективной оценкой -- это отдельный факт, лично для меня не тривиальный, хотя доказательство не очень сложное. Это я к тому, что не очень понял, почему вы пишете

Nyanfox в сообщении #882993 писал(а):

В итоге, для данного распределения существует в качестве эффективной оценки только $\bar{X}/r$, и существует она только для заданного выше $\tau(\theta)$, всё это с точностью до линейного преобразования. Это, собственно, и является доказательством, что все остальные оценки в рамках данной модели не являются эффективными.

Вы там еще спрашивали про достаточность этой оценки. Она конечно достаточная и это легко увидеть из критерия факторизации.

Вот это мне кажется странным и не понятным:

Nyanfox в сообщении #882993 писал(а):

Тогда, кажется, $\frac{\sigma_T^2(\theta)}{n}$ и есть та самая асимптотическая дисперсия, если я правильно понял задание. Насколько я знаю, она может быть равна, например, $\frac{\left[g'(p)\right]^2}{n\cdot i(p)}$ для ОМП $g(\check{p})$.

Вот я понимаю так: если у нас есть две асимптотически нормальные статистики, то можно сравнить эти асимптотические дисперсии. Где меньше, та и лучше. Но я не знаю, что у вас на самом деле понимается под этим "сравнить точность с помощью асимптотических дисперсий".

[Nyanfox]

ShMaxG
Да, ОММ Вы расшифровали правильно, а ОМК - оценка методом квантилей, там никак не получается выразить оцениваемый параметр: $-px^{*}_{0,5}(1-p)^{x^{*}_{0,5}}-(1-p)^{x^{*}_{0,5}}+1=0,5$ .

Я так написал, потому что мы проверяли эффективность по следующему алгоритму: находили дисперсии от оценок и смотрели их порядок роста (если я правильно применяю этот термин) при $n\to\infty$. И смещённая оценка могла оказаться эффективнее несмещённой, если, например, у первой $D[\check{\theta}]\sim \frac{1}{n^2}$, а у второй $D[\tilde{\theta}]\sim \frac{1}{n}$ . Я не совсем понимаю, на что опирается этот алгоритм.

Цитата:

Вот я понимаю так: если у нас есть две асимптотически нормальные статистики, то можно сравнить эти асимптотические дисперсии. Где меньше, та и лучше.

Скорее всего, так и надо сделать. Я опираюсь на это:

Цитата:

Теорема об асимптотической нормальности ОМП. Пусть выполнены условия регулярности Рао–Крамера, $\check{\theta}$– ОМП скалярного параметра $\theta$ , причем она единственна и является внутренней точкой параметрического множества $\Theta$.
Тогда
(*) $\check{\theta}$ – состоятельная оценка для $\theta$ ;
(**) если дополнительно известно, что $\exists\frac{\delta^3}{\delta\theta^3}L(\theta,x)$, и $\exists N(x)$ , для которой выполняются неравенства: $\left|\frac{\delta^3}{\delta\theta^3}L(\theta,x)\right|\leq N(x)$, $\text{M}[N(x)]<\infty$, то

$$\sqrt{n\cdot i(\theta)}\cdot (\check{\theta}-\theta)\quad\text{а.н.}\quad (0,1)$$

(***) если дополнительно известно, что $g(\theta)$ – дифференцируемая функция, причем $g'(\theta)\not= 0$ , то $g(\check{\theta})$ – ОМП для $g(\theta)$, причем $\sqrt{n\cdot i(\theta)}\cdot (g(\check{\theta})-g(\theta))\quad\text{а.н.}\quad (0, [g'(\theta)]^2)$
Примечание. Асимптотическая дисперсия ОМП $g(\check{\theta})$ равна $\frac{[g'(\theta)]^2}{n\cdot i(\theta)}$

-- 02.07.2014, 17:33 --

Хотя, насчёт дисперсий я, кажется, понял: я сравнивал статистические оценки по значению квадратичного риска.

[ShMaxG]

Nyanfox в сообщении #883167 писал(а):

Я так написал, потому что мы проверяли эффективность по следующему алгоритму: находили дисперсии от оценок и смотрели их порядок роста (если я правильно применяю этот термин) при $n\to\infty$. И смещённая оценка могла оказаться эффективнее несмещённой, если, например, у первой $D[\check{\theta}]\sim \frac{1}{n^2}$, а у второй $D[\tilde{\theta}]\sim \frac{1}{n}$ . Я не совсем понимаю, на что опирается этот алгоритм.

Это резонно делать только если вы рассматриваете несмещенные оценки. Действительно, если дисперсия одной оценки меньше (при достаточно большом $n$) другой, то ей и следует отдать предпочтение. Если вам удалось найти оценку с равномерно (по параметру) минимальной дисперсией, тогда эта оценка называется оптимальной (по книге Ивченко и Медведева). Возможно, что у вас (в курсе? лекциях? учебнике?) она называется эффективной.

Короче говоря, ОМП не R-эффективная оценка и не является несмещенной с равномерно минимальной дисперсией (вообще не является несмещенной).

[Nyanfox]

ShMaxG
Спасибо, с этим разобрался.

Насчёт асимптотических дисперсий: может ли быть такое, что асимптотические дисперсии у оценок (ОММ и ОМП) одного вида, скажем, $\frac{2}{2+\bar{X}}$, будут разными в зависимости от того, находим мы асимптотическую дисперсию по формуле для ОММ или для ОМП?

[ShMaxG]

Nyanfox в сообщении #883202 писал(а):

находим мы асимптотическую дисперсию по формуле для ОММ или для ОМП?

Это как? Асимптотическая дисперсия это вообще свойство статистики, причем здесь какой-то метод? Если статистика асимптотически нормальная, то асимптотическая дисперсия вполне конкретная.

Кстати, для асимптотической нормальности одно условие теоремы не выполнено: не для всех $x$ из выборочного пространства ваша ОМП находится внутри множества значений параметра (возможно $S_n=0$ и тогда ОМП равна 1). Так что я пока на 100% не уверен, что эта оценка асимптотически нормальная

[Nyanfox]

ShMaxG в сообщении #883213 писал(а):

Это как? Асимптотическая дисперсия это вообще свойство статистики, причем здесь какой-то метод? Если статистика асимптотически нормальная, то асимптотическая дисперсия вполне конкретная.

Меня вот что смутило (много цитированных текста и формул, поэтому в изображении):

ShMaxG в сообщении #883213 писал(а):

Кстати, для асимптотической нормальности одно условие теоремы не выполнено: не для всех $x$ из выборочного пространства ваша ОМП находится внутри множества значений параметра (возможно $S_n=0$ и тогда ОМП равна 1). Так что я пока на 100% не уверен, что эта оценка асимптотически нормальная

Вот блин, и как быть?

[ShMaxG]

Nyanfox в сообщении #883215 писал(а):

Вот блин, и как быть?

Без паники, это же оценка ОММ. Так что тут все нормально, она асимптотически нормальная. Можете, к примеру, вот сюда глянуть: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node21.html.

-- Ср июл 02, 2014 23:19:35 --

Вообще, вы бы конечно лучше в свои записи/лекции/конспекты смотрели, наверняка там есть ответы на все ваши вопросы.

[Nyanfox]

ShMaxG в сообщении #883342 писал(а):

Без паники, это же оценка ОММ. Так что тут все нормально, она асимптотически нормальная.

Спасибо. Да, кстати, я уже посмотрел и нашёл этот факт в лекциях. В таком случае буду находить асимптотическую дисперсию для ОММ по формуле из моего сообщения выше.

ShMaxG в сообщении #883342 писал(а):

Вообще, вы бы конечно лучше в свои записи/лекции/конспекты смотрели, наверняка там есть ответы на все ваши вопросы.

В первую очередь там и пытаюсь искать информацию, другое дело, что материала много, он плохо структурирован, плюс некоторая информация там, действительно, отсутствует.

-- 03.07.2014, 01:04 --

(Оффтоп)

Кстати, классный Вы мне учебник посоветовали: я там и асимптотическую эффективность нашёл, формулу который я упомянал в середине дискуссии.

[ShMaxG]

Nyanfox в сообщении #883359 писал(а):

Кстати, классный Вы мне учебник посоветовали: я там и асимптотическую эффективность нашёл, формулу который я упомянал в середине дискуссии.

Вы имеете ввиду учебник Ивченко и Медведева? Да, он всем студентам у нас нравится. И, честно говоря, я по нему учился, поэтому привык именно к их терминологии.