ЛЛ2, задача по упругому столкновению частиц

[10110111]

В ЛЛ2 "Теория поля" после главы "Упругие столкновения частиц" рассматривается задача:

Цитата:

Треугольник ABC образован вектором импульса $\bold{p}_1$ налетающей частицы и импульсами $\bold{p}'_1$, $\bold{p}'_2$ обеих частиц после столкновения. Найти геометрическое место точек C, соответствующих всем возможным значениям $\bold{p}'_1$, $\bold{p}'_2$.

(подразумевается, что $\bold{p}_2=0$). Дано изображение:


Мне всё предложенное решение понятно почти до конца, но вот эта фраза меня вводит в ступор:

Цитата:

При $\theta_1=0$ вектор $\bold{p}'_1$ совпадает с $\bold{p}_1$, так что расстояние $AB$ равно $p_1$.

Что мне непонятно:
1. Почему вектор $\bold{p}'_1$ должен совпасть с $\bold{p}_1$ при $\theta_1=0$? Ведь возможно лобовое столкновение более тяжёлой частицы с более лёгкой такое, что $p'_1<p_1$ при сохранении сонаправленности векторов, т.е. $\bold{p}'_1\ne\bold{p}_1$.
2. Как из этого следует, что расстояние $AB$ равно $p_1$? Зачем вообще это выводить из случая $\theta_1=0$, если в силу закона сохранения импульса $\bold{p}'_1+\bold{p}'_2=\bold{p}_1$, а $\bold{p}_1$ как раз отложен от $A$ до $B$, т.е. по построению $p_1=AB$?

[Утундрий]

А что там бывает с треугольником, когда один его угол становится равным нулю?

[10110111]

Утундрий в сообщении #882951 писал(а):

А что там бывает с треугольником, когда один его угол становится равным нулю?

Дык ничего особенного не будет: $\bold{p}'_1$, $\bold{p}'_2$ и $\bold{p}_1$ будут сонаправлены, но это не требует, чтобы $\bold{p}'_1=\bold{p}_1$, ибо $p'_2$ может не быть нулём.

[Утундрий]

Совпадает здесь применено в смысле совпадает по направлению. Иначе авторы написали бы равен.

[Munin]

Задачи на упругие (и неупругие) столкновения релятивистских частиц составляют целую отдельную науку - кинематику элементарных частиц - которой посвящены отдельные книги.

Рекомендую почитать
Копылов. Всего лишь кинематика.
Это научно-популярная книжка, но с довольно подробным рассказом о данной задаче (упругое столкновение двух частиц).

[10110111]

Утундрий в сообщении #882988 писал(а):

Совпадает здесь применено в смысле совпадает по направлению.

Хм, ну допустим. Но как тогда из этого следует, что расстояние $AB$ равно $p_1$?

[svv]

Допустим, импульс первой частицы после столкновения лежит на прямой $AB$, как и до столкновения. Этому соответствуют две физически возможные ситуации:
1) в ц-системе частицы изменили импульсы на противоположные;
2) частицы сохранили те же импульсы, что были до столкновения — фактически, не провзаимодействовали.

На обоих рисунках (4а,4б) первой ситуации соответствует крайняя левая точка эллипса, второй — крайняя правая. Ландау и Лифшиц имеют в виду только вторую ситуацию, когда действительно $\mathbf p_1=\mathbf p'_1$ (крайняя правая точка). В случае, когда $m_1<m_2$, вторая ситуация хорошо описывается условием $\theta_1=0$ (в отличие от первой, для которой $\theta_1=\pi$).

В случае $m_1>m_2$ в обеих ситуациях имеем $\theta_1=0$ (просто первая частица либо замедлит движение, либо продолжит его с тем же импульсом). Ну, а неточность ЛЛ заключается просто в том, что они и при $m_1>m_2$ выделяют вторую ситуацию (невзаимодействие) условием $\theta_1=0$, хотя под это условие подпадает и «левый» случай первой ситуации.

[10110111]

svv
Так, это проясняет многое. Но тогда утверждение о равенстве $AB$ и $p_1$, наверно, всё-таки должно быть о $p'_1$ вместо $p_1$? (хотя далее они сравнивают именно $p_1$ с полуосями эллипса...) Или зачем оно вообще нужно, если оно справедливо просто по построению?

[svv]

Эллипс — это геометрическое место возможных положений конца вектора $\mathbf p'_1$, если его начало в точке $A$. Теперь нас интересует, а как связано положение крайней правой точки эллипса с концом вектора $\mathbf p_1$, отложенного тоже от точки $A$? Может, конец вектора $\mathbf p_1$ (который считается заданным) вовсе и не лежит на эллипсе? Так вот, ЛЛ приводят такое простое рассуждение: невзаимодействие частиц, когда импульсы сохраняются, есть тоже корректный случай, но в этом случае $\mathbf p'_1=\mathbf p_1$, следовательно, конец вектора $\mathbf p_1$ лежит на эллипсе возможных положений $\mathbf p'_1$. По-моему, той загадочной фразой ЛЛ об этом и хотят сказать (как обычно, заставляя миллионы читателей теряться в догадках).

-- Ср июл 02, 2014 17:57:55 --

svv в сообщении #883224 писал(а):

Может, конец вектора $\mathbf p_1$ (который считается заданным) вовсе и не лежит на эллипсе?

Ну, скажем, вдруг законы физики были бы таковы, что $\mathbf p'_2$ никогда не был бы равен нулю?

[10110111]

Всё, теперь понял. Спасибо большое за разъяснения!