Задача: Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причем

,

. Найдите: AD.
Решение: Проведем DK перпендикулярно плоскости ABC, проведем отрезки КА, KB, КС.

(по катету и гипотенузе). Отсюда

, где r - радиус окружности, описанной около

. Теперь из центра сферы, точки О, проведем отрезок ОТ, перпендикулярный плоскости АВС, проведем отрезки ТА, ТВ, ТС.

(они прямоугольные, ОТ - общий катет,

, где R - радиус сферы), тогда,

, где r - радиус окружности, описанной около

. Т.о. точки Т и K совпадают и отрезки DK и OK перпендикулярны плоскости ABC.

(по двум сторонам и углу между ними), тогда

, т.е.

- правильный.
Пусть F - середина AB. Т.к.

- равнобедренный, то DF - медиана, биссектриса и высота.
Из

находим:

, а т.к.

, то

Рассмотрим

: по теор.синусов

, откуда

Из (1) и (2) получаем

и далее

Но

, т.о.

.
Рассмотрим

: он равнобедренный, т.к.

;

. По теор.косинусов

Но

. Т.о.

, откуда

А в учебнике ответ такой:

i |
Lia: Название темы изменено на более информативное. |