Стереометрия: Где моя ошибка в решении?

[ighter]

Задача: Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причем $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 2 \varphi $, $AD = BD = CD$. Найдите: AD.

Решение: Проведем DK перпендикулярно плоскости ABC, проведем отрезки КА, KB, КС. \triangle DKA = \triangle DKB = \triangle DKC$ (по катету и гипотенузе). Отсюда $KA = KB = KC = r$, где r - радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$. Теперь из центра сферы, точки О, проведем отрезок ОТ, перпендикулярный плоскости АВС, проведем отрезки ТА, ТВ, ТС. \triangle OTA = \triangle OTB = \triangle OTC$(они прямоугольные, ОТ - общий катет, $OA = OB = OC = R$, где R - радиус сферы), тогда, $TA = TB = TC = r$, где r - радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$. Т.о. точки Т и K совпадают и отрезки DK и OK перпендикулярны плоскости ABC.
$\triangle ADB = \triangle BDC = \triangle ADC$ (по двум сторонам и углу между ними), тогда $AB = BC = AC$, т.е. $\triangle ABC$ - правильный.
Пусть F - середина AB. Т.к. $\triangle ABD$ - равнобедренный, то DF - медиана, биссектриса и высота.
Из $\triangle ABD$ находим: $AF = AD \cdot \sin \varphi$, а т.к. $AB = 2 \cdot AF$, то

$$AB = 2 \cdot AD \cdot \sin \varphi ~~~(1)$$

Рассмотрим $\triangle ABC$: по теор.синусов $\frac{AB}{\sin 60} = 2 \cdot r$, откуда

$$AB = 2 \cdot r \cdot \sin 60 ~~~(2)$$

Из (1) и (2) получаем $2 \cdot AD \cdot \sin \varphi = 2 \cdot r \cdot \sin 60$ и далее

$$\frac {r}{AD}=\frac {\sin \varphi}{\sin 60}$$

Но $\frac r {AD}=\sin {\angle ADO}$, т.о. $\sin {\angle ADO}=\frac {\sin \varphi}{\sin 60}$.
Рассмотрим $\triangle ADO$: он равнобедренный, т.к. $AO=DO=R$; $\angle AOD=90-\angle ADO$. По теор.косинусов

$$AD^2=AO^2+DO^2-2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos {\angle AOD}=2 \cdot R^2 (1-\cos {\angle AOD})$$

Но $\cos {\angle AOD}=\cos {(90-\angle ADO)}=\sin {\angle ADO}=\frac {\sin \varphi}{\sin 60}$. Т.о. $AD^2=2 \cdot R^2 (1-\sin {\angle ADO})$, откуда

$$AD=R \cdot \sqrt{2 \cdot (1-\frac {\sin \varphi}{\sin 60})}=R \cdot \sqrt {\frac{6-4 \sqrt 3 \sin \varphi}{3}}$$

А в учебнике ответ такой: $AD=2R \sqrt{\frac{3-4\sin^2 \varphi}{3}}$

Lia: Название темы изменено на более информативное.

[Nemiroff]

ighter в сообщении #883178 писал(а):

$\angle AOD=90-\angle ADO$.

Почему?

[ighter]

Nemiroff в сообщении #883179 писал(а):

ighter в сообщении #883178 писал(а):

$\angle AOD=90-\angle ADO$.

Почему?

Точно! $\angle AOD=180-2 \angle ADO$, откуда $\frac{\angle AOD}{2}=90-\angle ADO$ (во косяк-то).
Спасибо!