2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стереометрия: Где моя ошибка в решении?
Сообщение02.07.2014, 15:39 


02/07/14
4
Задача: Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причем $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 2 \varphi $, $AD = BD = CD$. Найдите: AD.
Изображение
Решение: Проведем DK перпендикулярно плоскости ABC, проведем отрезки КА, KB, КС. \triangle DKA = \triangle DKB = \triangle DKC$ (по катету и гипотенузе). Отсюда $KA = KB = KC = r$, где r - радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$. Теперь из центра сферы, точки О, проведем отрезок ОТ, перпендикулярный плоскости АВС, проведем отрезки ТА, ТВ, ТС. \triangle OTA = \triangle OTB = \triangle OTC$(они прямоугольные, ОТ - общий катет, $OA = OB = OC = R$, где R - радиус сферы), тогда, $TA = TB = TC = r$, где r - радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$. Т.о. точки Т и K совпадают и отрезки DK и OK перпендикулярны плоскости ABC.
$\triangle ADB = \triangle BDC = \triangle ADC$ (по двум сторонам и углу между ними), тогда $AB = BC = AC$, т.е. $\triangle ABC$ - правильный.
Пусть F - середина AB. Т.к. $\triangle ABD$ - равнобедренный, то DF - медиана, биссектриса и высота.
Из $\triangle ABD$ находим: $AF = AD \cdot \sin \varphi$, а т.к. $AB = 2 \cdot AF$, то $$AB = 2 \cdot AD \cdot \sin \varphi  ~~~(1)$$
Рассмотрим $\triangle ABC$: по теор.синусов $\frac{AB}{\sin 60} = 2 \cdot r$, откуда $$AB = 2 \cdot r \cdot \sin 60 ~~~(2)$$
Из (1) и (2) получаем $2 \cdot AD \cdot \sin \varphi = 2 \cdot r \cdot \sin 60$ и далее $$\frac {r}{AD}=\frac {\sin \varphi}{\sin 60}$$
Но $\frac r {AD}=\sin {\angle ADO}$, т.о. $\sin {\angle ADO}=\frac {\sin \varphi}{\sin 60}$.
Рассмотрим $\triangle ADO$: он равнобедренный, т.к. $AO=DO=R$; $\angle AOD=90-\angle ADO$. По теор.косинусов $$AD^2=AO^2+DO^2-2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos {\angle AOD}=2 \cdot R^2 (1-\cos {\angle AOD})$$
Но $\cos {\angle AOD}=\cos {(90-\angle ADO)}=\sin {\angle ADO}=\frac {\sin \varphi}{\sin 60}$. Т.о. $AD^2=2 \cdot R^2 (1-\sin {\angle ADO})$, откуда $$AD=R \cdot \sqrt{2 \cdot (1-\frac {\sin \varphi}{\sin 60})}=R \cdot \sqrt {\frac{6-4 \sqrt 3 \sin \varphi}{3}}$$
А в учебнике ответ такой: $AD=2R \sqrt{\frac{3-4\sin^2 \varphi}{3}}$
 i  Lia: Название темы изменено на более информативное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где моя ошибка в решении?
Сообщение02.07.2014, 15:47 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
ighter в сообщении #883178 писал(а):
$\angle AOD=90-\angle ADO$.
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где моя ошибка в решении?
Сообщение02.07.2014, 16:02 


02/07/14
4
Nemiroff в сообщении #883179 писал(а):
ighter в сообщении #883178 писал(а):
$\angle AOD=90-\angle ADO$.
Почему?

Точно! $\angle AOD=180-2 \angle ADO$, откуда $\frac{\angle AOD}{2}=90-\angle ADO$ :facepalm:(во косяк-то).
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group