Теория групп 4 (свободные конструкции)

[Foxer]

Как-то скучно стало в этом разделе. Все мусолятся и мусолятся очевидные задачи. Давайте что-то менее очевидное решим.

Задача. Покажите, что существует континуум попарно неизоморфных $2$-порожденных групп. Выведите отсюда, что не существует счетной группы, содержащей каждую счетную группу в качестве подгруппы.
Указание. Примените конструкцию вложения счетной группы в $2$-порожденную к группам $\underset{p \in \pi}{\bigoplus}\mathbb{Z}_p$, где $\pi$ - произвольное множество простых.

Так, во-первых, хочется заметить, что для абелевых групп такое не верно. Если мы возьмем счетную сумму слагаемых следующего вида $\underset{\mathbb{N}}{\bigoplus}\mathbb{Z}_p$ и $\underset{\mathbb{N}}{\bigoplus}\mathbb{Z}$, где $p$ пробегает все простые, то, очевидно, любая абелева счетная группа туда вложится.
Также я умею доказывать то, что любая счетная группа вкладывается в $2$-порожденную. Это делается с помощью HNN-расширений.

Ну а оснвную часть доказать не могу. Что-то я как-то даже со вторым пунктом заступорился по модулю первого.

[Xaositect]

Foxer в сообщении #882238 писал(а):

Так, во-первых, хочется заметить, что для абелевых групп такое не верно. Если мы возьмем счетную сумму слагаемых следующего вида $\underset{\mathbb{N}}{\bigoplus}\mathbb{Z}_p$ и $\underset{\mathbb{N}}{\bigoplus}\mathbb{Z}$, где $p$ пробегает все простые, то, очевидно, любая абелева счетная группа туда вложится.

Это неправда, $\mathbb{Q}$ туда не вложится (потому что в Вашей группе для любого элемента $x$ найдется натуральное $n$ такое, что $x$ не равно $ny$ ни для какого $y$).

По основному вопосу пока не могу ничего сказать, конструкцию вложения не знаю.

[Foxer]

Xaositect, да, я соврал, извините. От каждого слагаемого нужно взять его пополнение =). Т.е. счетную сумму слагаемых следующего вида $\underset{\mathbb{N}}{\bigoplus}\mathbb{Z}_{p^\infty}$ и $\underset{\mathbb{N}}{\bigoplus}\mathbb{Q}$, где $p$ пробегает все простые.
И это тоже не сказал бы, что таки очевидный факт, как изначально было заявлено. Нужно вспомнить два утверждения: любая абелева группа вкладывается в полную абелеву, ну и как в целом устроены пополнения абелевых групп.

[arseniiv]

(Снова $\TeX$.)

А зачем вы используете \underset, когда это стандартный случай для \limits: $\bigoplus\limits_{\mathbb N}\mathbb Q$. \limits сохраняет пробелы вокруг $\bigoplus$.

[Foxer]

(Оффтоп)

arseniiv, совсем забыл, уж не карайте строго.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Не-не, совсем не собирался. Это просто как маленькое напоминание, что можно меньше писать и больше получить.

[VladimirKr]

группа $\underset{p \in \pi}{\bigoplus}\mathbb{Z}_p$ не более чем счетная. Для различных $\pi$ такие группы неизоморфны, а мощность всех этих ваших $\pi$ ...

[Foxer]

VladimirKr в сообщении #883124 писал(а):

группа $\underset{p \in \pi}{\bigoplus}\mathbb{Z}_p$ не более чем счетная. Для различных $\pi$ такие группы неизоморфны, а мощность всех этих ваших $\pi$ ...

А с чего Вы взяли, что когда мы HNN-расширениями вложим континуум неизоморфных групп в $2$-порожденные, то опять от них останется континуум неизоморфных? Может какие-то совпадут. В этом то и заключается вся первая часть задачи.

[Xaositect]

Посмотрел немного про NHH-расширения. Есть такой факт, что любой элемент конечного порядка сопряжен элементу исходной группы. С помощью него все доказывается.

[Foxer]

Xaositect в сообщении #883162 писал(а):

Есть такой факт, что любой элемент конечного порядка сопряжен элементу исходной группы.

Что-что-что, извините?)

[Xaositect]

Если $G^*$ есть HNN-расширение группы $G$, и $x\in G^{*}$ --- элемент конечного порядка, то $x = hgh^{-1}$ для некоторого $g\in G$.
Доказывается несложно из леммы Бриттона.