Подмножества

[Aritaborian]

Bonaqua в сообщении #882257 писал(а):

Действительно ли то, что отрезок $\left[ 0; 1 \right]$ равен по мощности всем точкам координатной плоскости?

Да (а также всем точкам прямой, да и вообще любого $\mathbb{R}^n$). Это называется умным словом «континуум» ;-)
По поводу учебников. У меня тут на столе лежит очень хорошая книга Ф. Новикова «Дискретная математика». Рекомендую. Очень удобно ставить на неё кружку с чаем. Если заинтересуетесь, ищите издание не ранее 2011.

[Bonaqua]

Aritaborian в сообщении #882270 писал(а):

По поводу учебников. У меня тут на столе лежит очень хорошая книга Ф. Новикова «Дискретная математика».

Спасибо, действительно хорошая книжка. Но Шевелев мне показался чуть лучше, потому сейчас его читаю.

И спасибо за объяснение; оказывается, между множеством неотрицательных чисел и его булеаном не существует других кардинальных чисел.

[Munin]

Aritaborian в сообщении #882133 писал(а):

Вам бы на мехмат, с таким-то интересом к теории множеств. Подумайте.

Да не стоит. Интерес к теории множеств вспыхнет и пройдёт. А судьба уже будет намечена...

Собственно, этот интерес пока не очень большой. На таком уровне множествами могут интересоваться и инженеры, и программисты, и финансовые аналитики. Это ещё не интерес ко всему зданию математики в целом, и не огромный всепоглощающий интерес, который заставляет забывать всё остальное, компьютерные игры, девушек, еду и сон...

Вот если человек жить без математики не может - тогда да, ему на мехмат. И то, ещё надо посмотреть, может быть, без чего-то ещё - он ещё сильнее жить не может.

-- 30.06.2014 16:38:18 --

Bonaqua в сообщении #882280 писал(а):

И спасибо за объяснение; оказывается, между множеством неотрицательных чисел и его булеаном не существует других кардинальных чисел.

Во-первых, не путайте множество и число.
Во-вторых, неверно, что не существует.

[Aritaborian]

Munin в сообщении #882285 писал(а):

Во-вторых, неверно, что не существует.

Есличо, я ничего такого не объяснял! ;-)

[Bonaqua]

Munin в сообщении #882285 писал(а):

Во-первых, не путайте множество и число

Число является элементом какого-либо количественного множество, то есть нет такого числа, которое не было бы элементом. При этом всякий элемент множества, может быть несобственным подмножеством, единственным элементом которого, будет само это число. Ко всему прочему, этот элемент я могу разбить до подмножеств, так, чтобы данный элемент стал теперь множеством. Так что я не вижу особой разницы между множеством и числом.

Munin в сообщении #882285 писал(а):

Во-вторых, неверно, что не существует.

А континуум-гипотеза говорит, что не существует

[Mathusic]

Bonaqua в сообщении #882294 писал(а):

Munin в сообщении #882285 писал(а):

Во-первых, не путайте множество и число

Число является элементом какого-либо количественного множество, то есть нет такого числа, которое не было бы элементом. При этом всякий элемент множества, может быть несобственным подмножеством, единственным элементом которого, будет само это число. Ко всему прочему, этот элемент я могу разбить до подмножеств, так, чтобы данный элемент стал теперь множеством. Так что я не вижу особой разницы между множеством и числом.

Дорешайте лучше задачку про пересечение множеств.

[Bonaqua]

Mathusic в сообщении #882297 писал(а):

Дорешайте лучше задачку про пересечение множеств.

1) $0$
2) $ (-1,1)$
3) $\varnothing$

[Mathusic]

Bonaqua в сообщении #882307 писал(а):

Mathusic в сообщении #882297 писал(а):

Дорешайте лучше задачку про пересечение множеств.

1) $0$
2) $ (-1,1)$
3) $\varnothing$

Внимательнее будьте. Неверно пока.

[Bonaqua]

Mathusic в сообщении #882321 писал(а):

Внимательнее будьте. Неверно пока.

Под вторым имеется в виду -$1, 0 ,1$.
Или, как новичку, дайте подсказку, в каком неверно?

[arseniiv]

В (2) неправильно. Для любого $k$ будет $1\in A_k$, так что…

Bonaqua в сообщении #882294 писал(а):

А континуум-гипотеза говорит, что не существует

А её не обязательно принимать. Она не выводится из остальных аксиом теории множеств.

Bonaqua в сообщении #882187 писал(а):

Если $X \cup Y = A =\left\{ 1, 2, ... , 7} \right\}$ , то для сокращения записи пишут $A_{i} = \left\{ a_{i} \right\} _{1}^{n}$.

Как сокращение записи $\{a_1,\ldots,a_n\}$ действительно пользуются записью $\{a_i\}_{i=1}^n$ ($i$ нельзя терять, т. к. индексом может быть и не $i$), но она не обязана как-то быть свазаной с какими-нибудь записями с $\cup$.

Вы, кажется, немного путаете записи и то, что за ними скрывается. И $A_1\cup A_2\cup A_3$, и $\bigcup_{i=1}^3 A_i$, и $\bigcup_{i\in\{1,2,3\}} A_i$ обозначают одно и то же множество — такое $B$, что $\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow x\in A_1\vee x\in A_2\vee x\in A_3)$; его можно обозначить и четвёртым способом $\{x : x\in A_1\vee x\in A_2\vee x\in A_3\}$, и счётным количеством других способов. Разные записи употребляются просто из соображений удобства.

Bonaqua в сообщении #882257 писал(а):

оператор вида $\bigcup\limits_{a}^{b}$

Я же описал всё подробно выше, и оператором это обычно не называют.

[Mathusic]

Bonaqua в сообщении #882324 писал(а):

Под вторым имеется в виду -$1, 0 ,1$.

Хм. Как-то странно у вас ответ от конечного множества до интервала гуляет.

Еще вот что: нуль -- $0$ и $\{0\}$ суть вещи разные все-таки. Пускай вы и не видите разницы между числом и множеством.

[Munin]

Bonaqua в сообщении #882294 писал(а):

А континуум-гипотеза говорит, что не существует :-)

А вы в курсе, что она - гипотеза?

(Вопрос с тремя звёздочками: вы в курсе современного статуса континуум-гипотезы?)

[Bonaqua]

Mathusic в сообщении #882321 писал(а):

Внимательнее будьте. Неверно пока.

$(- \frac{ 1 }{ 2} , \frac{ 1 }{ 2} )$ ?

arseniiv в сообщении #882325 писал(а):

Вы, кажется, немного путаете записи и то, что за ними скрывается. И $A_1\cup A_2\cup A_3$, и $\bigcup_{i=1}^3 A_i$, и $\bigcup_{i\in\{1,2,3\}} A_i$ обозначают одно и то же множество — такое $B$, что $\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow x\in A_1\vee x\in A_2\vee x\in A_3)$; его можно обозначить и четвёртым способом $\{x : x\in A_1\vee x\in A_2\vee x\in A_3\}$, и счётным количеством других способов. Разные записи употребляются просто из соображений удобства.

Во, теперь все прояснилось. Еще одно большое спасибо

Цитата:

А вы в курсе, что она - гипотеза?

(Вопрос с тремя звёздочками: вы в курсе современного статуса континуум-гипотезы?)

В курсе, поэтому я бы не торопился с выводами о том, что кардинальные числа либо существуют, либо не существуют. Насчет современного статуса не слышал, но знаю, что доказательства нет со времен самого Кантора.

[Munin]

Bonaqua в сообщении #882359 писал(а):

В курсе, поэтому я бы не торопился с выводами о том, что кардинальные числа либо существуют, либо не существуют.

Ну и как стыкуется ваше "я бы не торопился" с тем, что вы на самом деле поторопились?

[Bonaqua]

Munin в сообщении #882362 писал(а):

Ну и как стыкуется ваше "я бы не торопился" с тем, что вы на самом деле поторопились?

Так это не спешка, а удивление
Я же не написал, утверждаю, что между множеством неотрицательных чисел и его булеаном не существует других кардинальных чисел, а лишь поделился новостью, следствием прочитанного из статьи про континуум-гипотезу.
Вы, надеюсь, доказали, что она невозможна?