геометрическая задача на экстремум.

[marij]

У нас прямоугольный треугольник зафиксирован и не обязательно его угол будет 60 .И мы ищем максимальный вписанный.

[ewert]

Ну Вы ведь две картинки нарисовали?... Нарисуйте уж заодно и третью. А потом выберите из этих трёх вариантов наилучший.

[marij]

Не вижу возможной третьей

[Skeptic]

marij в сообщении #880075 писал(а):

Пришло в голову вписать равносторонний треугольник максимальной площади в, скажем для удобства, равнобедренный прямоугольный треугольник.Имеет ли эта задача решение?Достигается ли этот максимум? Пытался решить координатным методом ,связывая координаты вершин тр-ка в 2 условиями и используя условный экстремум Лагранжа- не подъемная система получается.

Высота правильного треугольника максимальной площади, вписанного в треугольник, равна минимальной высоте этого треугольника.

[ewert]

Skeptic в сообщении #881076 писал(а):

Один угол вписанного правильного треугольника максимальной площади должен совпадать с максимальным углом описанного треугольника.

Нет.

Skeptic в сообщении #881233 писал(а):

Высота правильного треугольника максимальной площади, вписанного в треугольник, равна минимальной высоте этого треугольника.

Нет.

Кроме того, первое может противоречить второму.

[Skeptic]

Да,да.

Опустим высоту из максимального угла треугольника. Очевидно, её длина она будет минимальной из возможных высот треугольника. Используя эту высоту, построим на ней правильный вписанный треугольник. Этот вписанный треугольник имеет максимальную площадь из всех вписанных треугольников: при любом его перемещении и вращении длины сторон уменьшаются.

[ewert]

Skeptic в сообщении #881664 писал(а):

Используя эту высоту, построим на ней правильный вписанный треугольник.

Вы уверены, что построите?

Возьмите для затравки в качестве внешнего равнобедренный треугольник, у которого основание много меньше боковых сторон (т.е. углы при основании почти прямые). Как будет расположен внутри него максимальный равносторонний треугольник?...

[Skeptic]

ewert, вы правы, так построенный треугольник не будет вписанным.
Требуются дополнительные построения для решения задачи: построим подобный ему вписанный треугольник, сдвинутый к острой вершине заданного треугольника, и получим требуемый вписанный треугольник, одна из вершин которого совпадает с вершиной максимального угла исходного треугольника.

[ewert]

Skeptic в сообщении #881797 писал(а):

одна из вершин которого совпадает с вершиной максимального угла исходного треугольника.

А вот и не факт. Следующий номер программы: чуть-чуть перекосим основание того очень вытянутого равнобедренного треугольника; пусть даже для определённости один угол при основании станет прямым, а другой останется острым (но близким к прямому). В какой из этих двух углов будет упираться своей вершиной максимальный внутренний треугольник: в прямой или в острый?...

[Skeptic]

Разобрался, где находится вписанный треугольник максимальной площади, и, как его построить.

[TOTAL]

Здесь $MN \perp PQ$
С помощью свойства $MN^2 + PQ^2 =const$ строим описанный правильный треугольник минимальной площади, затем вписанный правильный треугольник максимальной площади.

[ewert]

А где треугольники-то?

[TOTAL]

ewert в сообщении #882247 писал(а):

А где треугольники-то?

Сторона исходного треугольника видна из вершины описанного правильного треугольника под углом 60 градусов, т.е. вершина описанного правильного треугольника лежит на окружности. Две таких окружности изображены на рисунке. Одна из вершин исходного треугольника лежит на пересечении окружностей (на пересечении $MN$ и $PQ$)

[ewert]

TOTAL в сообщении #882261 писал(а):

Сторона исходного треугольника видна из вершины описанного правильного треугольника под углом 60 градусов,

Какая именно сторона, из какой именно вершины?...

В любом случае непонятно, какие тут вообще могут быть построения -- задача чисто переборная: одна из сторон внутреннего треугольника должна лежать на стороне внешнего, и один из углов внутреннего должен упираться в угол внешнего. Причём для любых форм треугольников, лишь бы они были фиксированы; просто если один из них правильный, то вариантов расположения (в зависимости от формы другого) всего два.

[TOTAL]

В $ABC$ надо вписать максимальной правильный треугольник. Для этого описываем вокруг $ABC$ минимальный правильный треугольник. Все описанные правильные треугольники определяются положением $MN$. Видно, что описанный треугольник оказывается минимальным, когда $MN$ совпадает с $UV.$