Обобщение понятия нормальной подгруппы

[Сомик]

Добрый день. У меня в моей работе (вообще говоря по теории автоматов) вознико некотрое понятие которое имеет алгебраическию интерпритацию. Пусть $G$-пруппа и $H$ - ее подгруппа. Назовем $H$ r-нормальной (этот термин я ввел сам) если существуют $g_1,\dots,g_r \in G$ если $\cap_{i=1}^{r}g_{i}^{-1}Hg_{i}=\cap_{g \in G}g^{-1}Hg$. Легко видеть что при $r=1$ имеем, $g_{1}^{-1}Hg_{1} \subset H \cap g_{1}^{-1}Hg_{1}$, следовательно $g_{1}^{-1}Hg_{1} = H$. А в силу $g_{1}^{-1}Hg_{1}=\cap_{g \in G}g^{-1}Hg$ получаем $g^{-1}Hg = H$ для любого $g \in G$. Что соответсвует нормальности $H$ в $G$.
Я хотел бы узнать у алгебраистов, есть ли в алгебре что-нибудь подобное?