Показательное неравенство с параметром

[Qazed]

Привожу первое неравенство:
Решить для всех $\alpha$ неравенство

$$ 4^x - \alpha \cdot 2^x - \alpha + 3 \leqslant 0 $$

Пусть $2^x = q > 0$, тогда

$$ q^2 - \alpha \cdot q - (\alpha - 3) \leqslant 0 $$

$$\begin{eqnarray*} D = \alpha^2 + 4\alpha - 12 \Longleftrightarrow \left[ \begin{matrix} D \geqslant 0 \text{ и } \alpha \in (-\infty;-2] \cup [6,\infty)\\ D < 0 \text{ и } \alpha \in (-2; 6) \end{matrix} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} q = \dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2}\\ ~\\ q = \dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \end{matrix} \right.\\ ~\\ q \in \{\} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$$

Так как $q > 0$, то

$$ q = \dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} >0 \Longleftrightarrow \alpha > 3 $$

График – парабола, ветви направлены вверх, тогда получаю

$$\begin{eqnarray*} q \in \left[\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right] \end{matrix} \Longleftrightarrow x \in \left[\log_2\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\log_2\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right] \end{eqnarray*}$$

Ответ:

$$ \boxed{\left[ \begin{matrix} \alpha \in [6,\infty) \text{ и } x \in \left[\log_2\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\log_2\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right]\\ \alpha \in (-\infty; 6) \text{ и } x \in \{\} \right. \end{matrix} }$$

Верен ли ответ? Прокомментируйте, пожалуйста, решение.

[Qazed]

При наборе потерял минус при извлечении корня из дискриминатна, править сообщение уже не могу. Если это возможно, то прошу модератора внести правку

[mihailm]

Возьмите в исходном уравнении параметр равным 2.

[Qazed]

$$\alpha = 2 \Longleftrightarrow D = 0$$

Корни я посчитал неверно

$$ D \geqslant 0 \Longleftrightarrow \alpha \in (-\infty;-6) \cup (2; \infty) $$

[ewert]

Qazed в сообщении #879632 писал(а):

$$ D \geqslant 0 \Longleftrightarrow \alpha \in (-\infty;-6) \cup (2; \infty) $$

Скобки не те, но важнее другое: замена положительного корня с шестёрки на двойку очень существенно меняет ситуацию.

[mihailm]

Qazed, подставьте теперь в исходное уравнение вместо параметра четверку.

[Qazed]

$$ \alpha = 4 \Longleftrightarrow D = 12 \Longleftrightarrow \left[ \begin{matrix} a = 2+\sqrt{3} \\ a = 2-\sqrt{3} \end{matrix} \right. \Longleftrightarrow a \in [ 2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}\ ] $$

[mihailm]

Не понятно, $a$ это что?

[Qazed]

Простите, $a$ — это $q$

[mihailm]

Там корень из 5 и логарифм от левого корня не считается.
Надо еще раз вернуться к неравенству, когда левый корень больше нуля.