2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Показательное неравенство с параметром
Сообщение23.06.2014, 18:44 
Аватара пользователя
Привожу первое неравенство:
Решить для всех $\alpha$ неравенство
$$ 4^x - \alpha \cdot 2^x - \alpha + 3 \leqslant 0 $$
Пусть $2^x = q > 0$, тогда

$$ q^2 - \alpha \cdot q - (\alpha - 3) \leqslant 0 $$

$$\begin{eqnarray*}
D = \alpha^2 + 4\alpha - 12 
\Longleftrightarrow
\left[ 
\begin{matrix}
D \geqslant 0 \text{ и } \alpha \in (-\infty;-2] \cup [6,\infty)\\
D < 0  \text{ и } \alpha \in (-2; 6)
\end{matrix} \right. \Longleftrightarrow 
\left[ \begin{matrix}
\left[ 
\begin{matrix}
q = \dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2}\\ ~\\
q = \dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2}
\end{matrix}
\right.\\ ~\\
q \in \{\}
\end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$$


Так как $q > 0$, то

$$ q = \dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} >0 \Longleftrightarrow \alpha > 3 $$
График – парабола, ветви направлены вверх, тогда получаю
$$\begin{eqnarray*}
q \in \left[\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right]
\end{matrix} \Longleftrightarrow
x \in \left[\log_2\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\log_2\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right]

\end{eqnarray*}$$

Ответ:
$$ \boxed{\left[ \begin{matrix}
\alpha \in [6,\infty) \text{ и } x \in \left[\log_2\dfrac{\alpha - \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2};\log_2\dfrac{\alpha + \sqrt{\alpha^2+4\alpha-12}}{2} \right]\\
\alpha \in (-\infty; 6) \text{ и } x \in \{\} \right.
\end{matrix} }$$

Верен ли ответ? Прокомментируйте, пожалуйста, решение.

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение23.06.2014, 19:53 
Аватара пользователя
При наборе потерял минус при извлечении корня из дискриминатна, править сообщение уже не могу. Если это возможно, то прошу модератора внести правку

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение23.06.2014, 20:03 
Возьмите в исходном уравнении параметр равным 2.

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение25.06.2014, 11:18 
Аватара пользователя
$$\alpha = 2 \Longleftrightarrow D = 0$$
Корни я посчитал неверно
$$ D \geqslant 0 \Longleftrightarrow \alpha \in (-\infty;-6) \cup (2; \infty) $$

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение25.06.2014, 12:33 
Qazed в сообщении #879632 писал(а):
$$ D \geqslant 0 \Longleftrightarrow \alpha \in (-\infty;-6) \cup (2; \infty) $$

Скобки не те, но важнее другое: замена положительного корня с шестёрки на двойку очень существенно меняет ситуацию.

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение25.06.2014, 20:42 
Qazed, подставьте теперь в исходное уравнение вместо параметра четверку.

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение27.06.2014, 18:00 
Аватара пользователя
$$ \alpha = 4 \Longleftrightarrow D = 12 \Longleftrightarrow 
\left[ \begin{matrix}
a = 2+\sqrt{3} \\
a = 2-\sqrt{3}
\end{matrix} \right.  \Longleftrightarrow  a \in [ 2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}\ ] $$

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение28.06.2014, 23:38 
Не понятно, $a$ это что?

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение29.06.2014, 14:43 
Аватара пользователя
Простите, $a$ — это $q$

 
 
 
 Re: Показательное неравенство с параметром
Сообщение29.06.2014, 16:19 
Там корень из 5 и логарифм от левого корня не считается.
Надо еще раз вернуться к неравенству, когда левый корень больше нуля.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group