Нахождение радиуса сходимости ряда с комплексной переменной

[emilj]

У меня вопрос: с помощью какой формулы находится радиус сходимости ряда с комплексной переменной в зависимости от того где и в какой степени находится переменная z?
Вот например для этих рядов:
1) % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBqnfaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0ev % GueE0jxyaibaieYlf9irVeeu0dXdh9vqqj-hEeeu0xXdbba9frFj0- % OqFfea0dXdd9vqaq-JfrVkFHe9pgea0dXdar-Jb9hs0dXdbPYxe9vr % 0-vr0-vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaqahaba % GaamyzamaaCaaaleqabaGaamyAamaalaaabaGaeqiWdahabaGaaGin % aaaaaaGccaWG6bWaaWbaaSqabeaacaWGUbaaaaqaaiaad6gacqGH9a % qpcaaIXaaabaGaeyOhIukaniabggHiLdaaaa!43A5! \[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {e^{i\frac{\pi } {4}} z^n } \]
2) % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBqnfaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0ev % GueE0jxyaibaieYlf9irVeeu0dXdh9vqqj-hEeeu0xXdbba9frFj0- % OqFfea0dXdd9vqaq-JfrVkFHe9pgea0dXdar-Jb9hs0dXdbPYxe9vr % 0-vr0-vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaqahaba % WaaSaaaeaacaGGOaGaaGOmaiabgUcaRiaadMgacaGGPaWaaWbaaSqa % beaacaWGUbaaaOGaaiikaiaadQhacqGHsislcaWGPbGaaiykamaaCa % aaleqabaGaamOBaaaaaOqaaiaad6gaaaaaleaacaWGUbGaeyypa0Ja % aGymaaqaaiabg6HiLcqdcqGHris5aaaa!4866! \[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{(2 + i)^n (z - i)^n }} {n}} \]
3) % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBqnfaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0ev % GueE0jxyaibaieYlf9irVeeu0dXdh9vqqj-hEeeu0xXdbba9frFj0- % OqFfea0dXdd9vqaq-JfrVkFHe9pgea0dXdar-Jb9hs0dXdbPYxe9vr % 0-vr0-vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaqahaba % WaaSaaaeaacaWG6bWaaWbaaSqabeaacaaIYaGaamOBaiabgUcaRiaa % igdaaaaakeaacaaI1aGaamOBaiaadMgacqGHRaWkcaaIXaaaaaWcba % GaamOBaiabg2da9iaaicdaaeaacqGHEisPa0GaeyyeIuoaaaa!45C5! \[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{z^{2n + 1} }} {{5ni + 1}}} \]
4) % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBqnfaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0ev % GueE0jxyaibaieYlf9irVeeu0dXdh9vqqj-hEeeu0xXdbba9frFj0- % OqFfea0dXdd9vqaq-JfrVkFHe9pgea0dXdar-Jb9hs0dXdbPYxe9vr % 0-vr0-vqpWqaaeaabiGaciaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaaqahaba % WaaSaaaeaacaWGUbaabaGaaGOmamaaCaaaleqabaGaamOBaaaakiaa % cIcacaWG6bGaeyOeI0IaaGOmaiabgkHiTiaadMgacaGGPaWaaWbaaS % qabeaacaWGUbaaaaaaaeaacaWGUbGaeyypa0JaaGymaaqaaiabg6Hi % LcqdcqGHris5aaaa!46D1! \[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{n} {{2^n (z - 2 - i)^n }}} \]

[Brukvalub]

emilj писал(а):

с помощью какой формулы находится радиус сходимости ряда с комплексной переменной в зависимости от того где и в какой степени находится переменная z?

У степенного ряда переменная может находиться только в неотрицательных степенях, иначе этот ряд уже не будет степенным, а будет рядом Лорана. Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда универсальной формулой является формула Коши-Адамара: http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/065/515.htm

[emilj]

Brukvalub писал(а):

emilj писал(а):

с помощью какой формулы находится радиус сходимости ряда с комплексной переменной в зависимости от того где и в какой степени находится переменная z?

У степенного ряда переменная может находиться только в неотрицательных степенях, иначе этот ряд уже не будет степенным, а будет рядом Лорана. Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда универсальной формулой является формула Коши-Адамара: http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/065/515.htm

То есть, тогда чему будет равен радиус всех 4 примеров?

[Someone]

Для данных рядов можно использовать признак Даламбера для абсолютной сходимости. Он даёт неравенство, из которого обычно можно найти радиус сходимости и круг сходимости.

[emilj]

Мне нужен только радиус сходимости! Можете, пожалуйста, для примера решить кратко пару номеров, чтобы я понял смысл.

[Someone]

Ну, например, рассмотрим ряд

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(z-2i)^{3k}}{k^32^k}\text{.}$$

Здесь $u_k=\frac{(z-2i)^{3k}}{k^32^k}$, $u_{k+1}=\frac{(z-2i)^{3(k+1)}}{(k+1)^32^{k+1}}$,

$$\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(z-2i)^{3(k+1)}}{(k+1)^32^{k+1}}\frac{k^32^k}{(z-2i)^{3k}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k^3|z-2i|^3}{2(k+1)^3}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{|z-2i|^3}{2\left(1+\frac 1k\right)^3}=\frac 12|z-2i|^3\text{.}$$

Условие (абсолютной) сходимости: $\frac 12|z-2i|^3<1$, то есть, $|z-2i|<\sqrt[3]{2}$. Последнее неравенство даёт круг сходимости, а радиус сходимости равен $R=\sqrt[3]{2}$.

[emilj]

Someone писал(а):

Ну, например, рассмотрим ряд

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(z-2i)^{3k}}{k^32^k}\text{.}$$

Здесь $u_k=\frac{(z-2i)^{3k}}{k^32^k}$, $u_{k+1}=\frac{(z-2i)^{3(k+1)}}{(k+1)^32^{k+1}}$,

$$\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{u_{k+1}}{u_k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(z-2i)^{3(k+1)}}{(k+1)^32^{k+1}}\frac{k^32^k}{(z-2i)^{3k}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k^3|z-2i|^3}{2(k+1)^3}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{|z-2i|^3}{2\left(1+\frac 1k\right)^3}=\frac 12|z-2i|^3\text{.}$$

Условие (абсолютной) сходимости: $\frac 12|z-2i|^3<1$, то есть, $|z-2i|<\sqrt[3]{2}$. Последнее неравенство даёт круг сходимости, а радиус сходимости равен $R=\sqrt[3]{2}$.

То есть мы не имеем право использовать ф-лу?:
$R=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|An|}{|An+1|}$
И если можно, решите мои 4 номера.

[Someone]

emilj писал(а):

То есть мы не имеем право использовать ф-лу?:
$R=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|An|}{|An+1|}$

Иногда имеем, иногда - нет. Попробуйте сами решить свои задачи тем и другим способом и сравнить.

emilj писал(а):

И если можно, решите мои 4 номера.

Правила форума не разрешают. Если Вы выложите сюда свои попытки решения, кто-нибудь Вам поможет. В правилах написано:

Цитата:

Помощь в решении стандартных школьных и студенческих задач по математике (при условии самостоятельных попыток решения и готовности думать). Обсуждение теоретических вопросов, входящих в стандартные учебные курсы

[emilj]

Someone писал(а):

emilj писал(а):

То есть мы не имеем право использовать ф-лу?:
$R=&\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|An|}{|An+1|}$

Иногда имеем, иногда - нет. Попробуйте сами решить свои задачи тем и другим способом и сравнить.

emilj писал(а):

И если можно, решите мои 4 номера.

Правила форума не разрешают. Если Вы выложите сюда свои попытки решения, кто-нибудь Вам поможет. В правилах написано:

Цитата:

Помощь в решении стандартных школьных и студенческих задач по математике (при условии самостоятельных попыток решения и готовности думать). Обсуждение теоретических вопросов, входящих в стандартные учебные курсы

Спасибо большое я разобрался!!!
А если я не знаю как один предел посчитать, можете помочь, хоть как-то раз нельзя решать?
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{nshn}{3^n}$

[Brukvalub]

Используйте то, что е < 3.

[emilj]

Brukvalub писал(а):

Используйте то, что е < 3.

Но там же еще домножение на n. Получится что надо сравнить $n(e^n-e^{-n})$ и $2 3^n$
Так? А как это сделать? Как определить что именно больше?

[Brukvalub]

Если

\[ \left| q \right| < 1 \]

, то

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n^p q^n = 0 \]

[emilj]

Brukvalub писал(а):

Если

\[ \left| q \right| < 1 \]

, то

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n^p q^n = 0 \]

Но у меня же
{q=e^n} либо {q=3^n}? И они оба q>1. Ведь так или я что-то не то делаю?

[Brukvalub]

emilj писал(а):

или я что-то не то делаю?

Не так. У Вас

\[ \left| q \right| \le \frac{e}{3} \]

[Imperator]

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{nsh(n)}{3^{n}}=\frac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty}\frac{ne^{n}}{3^{n}}-\frac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty}\frac{ne^{-n}}{3^{n}}=\frac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty}n(\frac{e}{3})^{n}=0,$ так как $q=\frac{e}{3}<1.$