случайная кривая

[mihatel]

Всем здравствуйте! У меня такой вопрос: как можно построить случайную кривую? Двумерную, гладкую более-менее, с заданной максимальной кривизной, границами, начальной точкой, а, может быть, и не одной... Вот если, например, взять интерполяционный многочлен в случайных точках, то это - не то, что надо, потому что через эти точки проходит только один такой многочлен, хотя они и случайны.

[mihailm]

mihatel в сообщении #880663 писал(а):

...Двумерную, гладкую более-менее, с ...начальной точкой, а, может быть, и не одной...

Что есть вторая (третья, четвертая) начальная точка кривой?

[arseniiv]

mihatel, кривую с непрерывной производной можно сделать из дуг окружностей (и отрезков прямых). Кривую с непрерывными двумя производными можно сложить из кусочков спиралей Корню, да и вообще к вашим услугам любой сплайн.

mihatel в сообщении #880663 писал(а):

Вот если, например, взять интерполяционный многочлен в случайных точках, то это - не то, что надо, потому что через эти точки проходит только один такой многочлен, хотя они и случайны.

Да неужели? А если его ещё одну случайную точку заставить проходить? Через любое конечное множество точек проходит континуум многочленов.

[mihatel]

mihailm в сообщении #880742 писал(а):

Что есть вторая (третья, четвертая) начальная точка кривой?

Извините, пожалуйста! Вторая и третья, конечно, начальными не будут. Несколько точек, через которые кривая проходит.

-- Пт июн 27, 2014 19:17:28 --

arseniiv в сообщении #880763 писал(а):

mihatel, Кривую с непрерывными двумя производными можно сложить из кусочков спиралей Корню, да и вообще к вашим услугам любой сплайн.

Спасибо.

arseniiv в сообщении #880763 писал(а):

Да неужели?

Представьте себе! То есть, конечно, не один многочлен, но все равно, это не то, что надо!

arseniiv в сообщении #880763 писал(а):

А если его ещё одну случайную точку заставить проходить?

Ну и что?

arseniiv в сообщении #880763 писал(а):

Через любое конечное множество точек проходит континуум многочленов.

Ну и что? А как, например, построить $\sin(1/x)$? Отличная кривая. То, что надо! И мне не нужно ее приближение с какой-то точностью. Я хочу :), чтобы при построении у меня оставалась вероятность (надежда :)) получить и такую кривую.
Вот, например, функция $a^x$, где $a>1$ - случайное число, в моем понимании не является случайной. Тоже и многочлены.
В теоремах математического анализа часто говорится: возьмем произвольную такую-то функцию... А можно ли ее действительно как-нибудь взять (смоделировать)?

[Aritaborian]

mihatel в сообщении #880826 писал(а):

В теоремах математического анализа часто говорится: возьмем произвольную такую-то функцию... А можно ли ее действительно как-нибудь взять (смоделировать)?

Здесь вы «путаете тёплое с мягким». «Смоделировать» можно функцию из определённого класса функций. Например, возьмём функцию $f(x)=ax^2+bx+c$, где $a, b, c$ — случайные величины, равномерно распределённые на отрезке $[0; 1]$ каждая. Вот вам вполне себе «случайная кривая», в определённом смысле.

UPD. Впрочем, если

mihatel в сообщении #880826 писал(а):

Вот, например, функция $a^x$, где $a>1$ - случайное число, в моем понимании не является случайной. Тоже и многочлены.

то я уж и не знаю, чего вы хотите.

[arseniiv]

Смоделировать функцию — странная затея. Моделировать математический объект (математикой) незачем, потому что он у нас и так есть. Видимо, вы имели в виду что-то другое.

Кстати, вам обязательно нужна кривая, являющаяся графиком какой-то функции, $y = \text{что-то}(x)$? По примерам складывается впечатление. Я сначала подумал о кривой как непрерывном образе отрезка, которую задают обычно параметрическими уравнениями (сплайны сойдут в любом случае, а вот склеивание дуг уже не будет удобным в первом).

[mihatel]

Aritaborian в сообщении #880929 писал(а):

то я уж и не знаю, чего вы хотите.

Например, функцию $f(x)=rnd(x)$. Только, чтобы она была ну хотя бы непрерывной.

[arseniiv]

Э, нету такой функции $rnd$.

В общем, как у вас дела со сплайнами, помогли? Я рассчитывал на такое их применение: каким-то случайным образом распределяем точки по области плоскости, и потом пропускаем через них сплайн. Недоопределённые коэффициенты тоже генерируем как-нибудь. Всё, один экземпляр кривой готов.

[mihatel]

arseniiv в сообщении #880967 писал(а):

Смоделировать функцию — странная затея. Моделировать математический объект (математикой) незачем, потому что он у нас и так есть. Видимо, вы имели в виду что-то другое.

Я хочу посмотреть на этот объект, увидеть его на экране монитора.

arseniiv в сообщении #880967 писал(а):

Кстати, вам обязательно нужна кривая, являющаяся графиком какой-то функции, $y = \text{что-то}(x)$? По примерам складывается впечатление. Я сначала подумал о кривой как непрерывном образе отрезка, которую задают обычно параметрическими уравнениями (сплайны сойдут в любом случае, а вот склеивание дуг уже не будет удобным в первом).

Я думаю, это не важно: если можно получить-взять-смоделировать одну случайную функцию, то, наверно, можно и две, и три тоже.

Это должна быть такая функция, закон изменения которой заранее неизвестен, и, уж конечно, она никоим образом не должна выражаться через элементарные функции. Она должна обладать лишь нужными мне свойствами.

-- Сб июн 28, 2014 19:30:18 --

arseniiv в сообщении #881343 писал(а):

Э, нету такой функции $rnd$.

В компьютере есть такая функция, а о большем я пока не мечтаю.

arseniiv в сообщении #881343 писал(а):

В общем, как у вас дела со сплайнами, помогли? Я рассчитывал на такое их применение: каким-то случайным образом распределяем точки по области плоскости, и потом пропускаем через них сплайн. Недоопределённые коэффициенты тоже генерируем как-нибудь. Всё, один экземпляр кривой готов.

Сплайны меня в данный момент не интересуют

[Pavia]

mihatel

mihatel в сообщении #880826 писал(а):

В теоремах математического анализа часто говорится: возьмем произвольную такую-то функцию... А можно ли ее действительно как-нибудь взять (смоделировать)?

Обычно эти функция не произвольные, а гладкие. Так вот в той же теории доказывается, что такую функцию можно приблизить полиномом. Впрочем как и сплайном. Если для вас является строгим прохождение через заданное число точек, то совет использовать интерполирование. Так что ответ под ваше условие уже был дан.

Что касается генерации случайного, то он не из легких. Но работ в этой области много:
1. Есть методы для получения истесано случайных чисел.
1.1 К примеру через запрос данных от http://www.random.org/
1.2 Либо метод из PGP на основе анализа сетевых пакетов.
1.3 Либо на основе реликтового излучения.
и др.
2. Есть генераторы псевдослучайных чисел. Существует более десятка таких методов научно обоснованных. Библиотеки сами найдёте.
3. Есть алгоритмы для красивой генерации. Применяемых в демосцене и играх для создания уровней местности и всего-всего.
3.1 Фракталы, странные и прилетные аттракторы.
3.2 Эвристические методы. Стоит сказать что много проходные более красивы.
Для примера посмотреть генераторы молний и генераторы облаков, генераторы трасс и генераторы деревьев и тп.

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #881343 писал(а):

Я рассчитывал на такое их применение: каким-то случайным образом распределяем точки по области плоскости, и потом пропускаем через них сплайн.

Я тоже, но было лень об этом писать

arseniiv в сообщении #881343 писал(а):

Э, нету такой функции $rnd$.

mihatel в сообщении #881346 писал(а):

В компьютере есть такая функция, а о большем я пока не мечтаю.

Есть такая партия функция. Даже график могу показать:


(arseniiv, это Plot[RandomReal[], {x, 0, 1}, AspectRatio -> Automatic], но вы, думаю, и сами догадались.)
Нечто подобное я впервые увидел году этак в 1994, когда изучал Бейсик. Меня это уже тогда насторожило , а вас, mihatel, не настораживает?

mihatel в сообщении #881346 писал(а):

Я думаю, это не важно: если можно получить-взять-смоделировать одну случайную функцию, то, наверно, можно и две, и три тоже.

Всё-таки попытайтесь вдуматься в то, что вам было сказано.

mihatel в сообщении #881346 писал(а):

Она должна обладать лишь нужными мне свойствами.

Какими именно?

mihatel в сообщении #881346 писал(а):

Сплайны меня в данный момент не интересуют

А зря.

[arseniiv]

Aritaborian в сообщении #881386 писал(а):

Я тоже, но было лень об этом писать

Да и мне поначалу. Я даже хотел написать о каком-то алгоритме получать «реалистичные» кривые — следующую точки выбирать в окрестности предыдущей, начав с одной; или начать с двух и потом добавлять для каждой пары точки в окрестности их среднего арифметического (с соответственными изменением параметров распределений и остальных нужных параметров сплайна/полидуги (как их там Алексей К. называл?), связанных с генерируемыми точками). Вот и написал.

[mihatel]

Aritaborian в сообщении #881386 писал(а):

, а вас, mihatel, не настораживает?

Нет, не настораживает :) И даже если добавить условие непрерывности, я думаю, она не значительно изменится.

Aritaborian в сообщении #881386 писал(а):

Всё-таки попытайтесь вдуматься в то, что вам было сказано.

А в чем выражается мое непонимание? Две "хорошие" функции задают одну плоскую кривую.

Aritaborian в сообщении #881386 писал(а):

Какими именно?

Например, $|f(x)|<A , |f'(x)|<B, |f''(x)|<C$

Aritaborian в сообщении #881386 писал(а):

А зря.

Если королю не интересна пьеса - нет у него к ней, значит, интереса...

[Teletranslator]

mihatel в сообщении #881968 писал(а):

Нет, не настораживает :) И даже если добавить условие непрерывности, я думаю, она не значительно изменится.

Примените вот это:

Цитата:

гладкую более-менее, с заданной максимальной кривизной

к той картинке. Как Вы себе такое представляете? Попробуйте нарисовать пример.

Намёк: если на том графике изображена кривая, то кривизна у неё - ой-ой-ой.

[worm2]

Кажется, ТСу нужно что-то вроде винеровского пространства, интеграл Фейнмана в той же степи живёт.
Ну, по крайней мере, проблема-то понятна. Хочется придать какой-то смысл высказываниям вроде:
"Найти вероятность того, что случайная гладкая функция, равная нулю в нуле, единице в единице, и с кривизной, не превышающей 10, будет в точке 0.5 больше 1".