А выражение «координаты кривизны» является каким-то непонятным и неуместным жаргоном.
Оно часто встречаются в литературе, странно, что Вы его не встречали, но не суть. Компоненты ТЭИ входят в систему дифференциальных уравнений Эйнштейна.
Итак, чтобы показать, что Ваше решение с сингулярной сферой некорректно, достаточно обойтись Ландау-Лифшицем пар. 100.
Буду считать, что вещество находится в тонкой сферической оболочке
.
Метрика внутри оболочки ищется в таком виде:
Выпишу только одно из уравнений, где содержится компонента
:
или :
или:
Далее , как написано у Ландау (стр. 406 перед формулой 100.19), он интегрирует данной выражение от
до
, поскольку он рассматривает полный шар. У нас оболочка, поэтому пределы интегрирования возьму от
до
:
Получаем:
или:
Связь с метрической радиальной компонентой следующая :
Находим радиальную компоненту на внутренней и внешней границе, устремляя
в левой и правой части
к нулю (
)
При
(то есть на внутренней границе оболочки), согласно
Вашему решению :
На внешней границе оболочки получаем :
Заменим последний интеграл через постоянную
:
На внешней границе получаем, используя уже найденное внутреннее значение компоненты
(6b):
Наконец , устремляя
к нулю получаем, что радиальная компонента на внешней границе терпит скачок:
А должно быть, как у Вас же и написано в стандартных координатах Шварцшильда (координатах кривизн):
То есть, радиальная компонента оболочки не сшивается непрерывно с внешним Шварцшильдом.
В чем и противоречие. Поэтому я
имею наглость признать Ваше решение ошибочным или несуразным. Либо возможно , что имеет место неоднозначность решения с сингулярной сферой, но для этого я и хочу посмотреть на Вашу компоненту
.
-- 29.06.2014, 15:27 --В изотропных координатах уравнение Эйнштейна , где нулевая компонента тензора ЭИ:
Там появляются вторые производные , но детально не разбирался.