ДУ разрешенное относительно старшей производной

[tpm01]

Есть такой вопрос:

Цитата:

При каком наименьшем $n$ уравнение вида $y^{(n)}=f(x,y) $, где $f$ - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости может иметь среди своих решений функции $x$ и $\sin(x)$

Если бы это было уравнение вида $y^{(n)}=f(x) $, тогда все понятно, а как быть с этим $y^{(n)}=f(x,y) $?
Не нужно полностью отвечать на вопрос, я хочу самостоятельно разобраться, подскажите где можно глянуть подходы к решению подобного типа уравнений.

[ИСН]

Любая функция от $x$ - это функция от $(x,y)$.

-- менее минуты назад --

И мне, кстати, непонятно, что Вам понятно в случае, если бы.

[tpm01]

ИСН в сообщении #879682 писал(а):

И мне, кстати, непонятно, что Вам понятно в случае, если бы.

К какому типу ДУ относится. Спасибо.

[ИСН]

Во-первых, у ДУ нет типов, а во-вторых, какое это имеет отношение к задаче? Там же совсем о другом.

[Vince Diesel]

1) Можете ли вы предъявить явно уравнение, которому удовлетворяют обе функции?

2) Почему нельзя предъявить уравнение меньшего порядка?

[Munin]

ИСН в сообщении #879699 писал(а):

Во-первых, у ДУ нет типов

Ну почему? В данном случае - обыкновенное дифференциальное уравнение.

tpm01 в сообщении #879679 писал(а):

подскажите где можно глянуть подходы к решению подобного типа уравнений.

В теореме о существовании и единственности решения задачи Коши.

-- 25.06.2014 15:17:53 --

(Оффтоп)

Vince Diesel в сообщении #879714 писал(а):

1) Можете ли вы предъявить явно уравнение, которому удовлетворяют обе функции?

Злостно... сейчас ведь пойдёт искать...

[ewert]

Munin в сообщении #879719 писал(а):

Злостно... сейчас ведь пойдёт искать...

а что ещё остаётся делать?

-- Ср июн 25, 2014 15:55:16 --

Vince Diesel в сообщении #879714 писал(а):

1) Можете ли вы предъявить явно уравнение, которому удовлетворяют обе функции?

2) Почему нельзя предъявить уравнение меньшего порядка?

Это один из возможных способов думания. Но можно и наоборот:

1) Менее чего этот порядок заведомо не может быть?

2) Встречались ли нам уравнения именно такого порядка, имеющие решения такого типа?

[tpm01]

Munin, ewert спасибо.
ИСН, я не являюсь специалистом по математике, а пытаюсь самостоятельно разобраться, спросить больше не у кого, иначе бы сюда не писала.

ewert в сообщении #879721 писал(а):

Это один из возможных способов думания. Но можно и наоборот:
1) Менее чего этот порядок заведомо не может быть?
2) Встречались ли нам уравнения именно такого порядка, имеющие решения такого типа?

Примерно так и думала, единственное, меня смутило это $f(x,y)$, что там справа и $y$ мог быть, как, например, в таком уравнении:
$y''=-4y+4(\cos(2t)+\sin(2t))$

[Munin]

tpm01 в сообщении #879905 писал(а):

ИСН, я не являюсь специалистом по математике, а пытаюсь самостоятельно разобраться

Окей, в этом процессе вы уже задачу Коши, и условия существования и единственности её решений проходили?

tpm01 в сообщении #879905 писал(а):

Примерно так и думала, единственное, меня смутило это $f(x,y)$, что там справа и $y$ мог быть, как, например, в таком уравнении:
$y''=-4y+4(\cos(2t)+\sin(2t))$

Ну так для дифференциального уравнения это нормально. Это и делает уравнение дифференциальным.

Если справа нет $y,$ то это недо-дифур. Это просто констатация, что вторая производная от $y$ - такая-то. Осталось только дважды проинтегрировать. Это скучно. Обычно дифуры решать гораздо сложнее.

[ewert]

tpm01 в сообщении #879905 писал(а):

меня смутило это $f(x,y)$, что там справа и $y$ мог быть, как, например, в таком уравнении:
$y''=-4y+4(\cos(2t)+\sin(2t))$

А игрек там и обязан быть -- иначе одновременно и икса, и синуса в качестве решений не выйдет.

Кстати: уравнение-то Вы угадали?...

[ИСН]

Я тоже не являюсь специалистом по математике, а только рассуждаю вслух. По-моему, это как раз то, что Вам нужно: выдать ответ я не могу, поскольку его не знаю. (То есть сейчас я понял, как получить некий результат среди линейных уравнений с постоянными коэффициентами, но нельзя ли меньше?)

[ewert]

ИСН в сообщении #879951 писал(а):

То есть сейчас я понял, как получить некий результат среди линейных уравнений с постоянными коэффициентами, но нельзя ли меньше?

Тут линейность не принципиальна -- она полезна (хотя и крайне полезна) лишь для подтверждения результата. Нижняя же граница на порядок достаточно естественно получается из

Munin в сообщении #879719 писал(а):

теореме о существовании и единственности решения задачи Коши.

[tpm01]

ewert, получается что $n=4$:
Полагаю что это линейное ДУ с постоянными коэффициентами (как это объяснить - не знаю, похожую задачку решала)
$y_1=x$ и $y_2=\sin(x)$ - частные решения и дальше рассуждаю с минимума -
1) $n=1$, подставляю - нет тождества
2) $n=2$ - тоже
3) $n=3$ - тоже
4) $n=4$ - решения подходят

[Lia]

tpm01
Оформите формулы.

Upd Спасибо.

[ewert]

tpm01 в сообщении #879999 писал(а):

1) n=1, подставляю - нет тождества

хоссподи; да куда подставляете-то?... в эн, что ли?...