Теория групп 3

[Foxer]

Прошу пожалуйста проверить решение задачки. Уж больно просто получилось.

Задача. Покажите, что никакая группа не раскладывается нетривиальным образом одновременно в прямое и в свободное произведение.

Решение. Пусть группа $G$ разложилась в прямое и свободное произведение нетривиальных групп $A$ и $B$. Тогда любой элемент $g \in G$ представляется в виде (в силу прямоты произведения) $g = (a, b), a \in A, b \in B$. Возьмем элементы $(a, 1), (1, b)$. Они коммутируют, значит их коммутатор равен единице, в то же время в свободном произведении их коммутатор - несократимое слово. Противоречие.

Может быть я неправильно понял задачу? Может быть не подразумевалось, что группа раскладывается одинаково? Но контрпример я как-то привести не смог.

[ИСН]

Да уж! Наверное, подразумевалось, что прямое произведение одних групп, а свободное - каких-то других. И что вот этого не может быть.

[Foxer]

ИСН, хм, а как тогда это доказать? Интуитивно ясно, что если группа разложилась в прямое произведение, то там много что с чем коммутирует, а вот в свободном произведении такого добра мало. Как это формально доказать - не знаю как-то.

[Sonic86]

Пусть $G=A\times B = C\ast D$, $A,B,C,D \leq G$. Что, если рассмотреть коммутатор элементов из $A\cap C$ и $B\cap D$?

[Foxer]

Sonic86, получится то же самое, что и я написал, если оба пересечения нетривиальные.
Если же хотя бы одно пересечение тривиально, то хм... ну как-то не особо уже проходит рассуждение.

[ИСН]

Если хотя бы одно пересечение тривиально, то переназовите группы по-другому. Если и это не помогает, то... как же тогда "расположены" эти группы?

[Foxer]

ИСН, естественно, я полагал, что и с переназванием пересечение тривиально.
Как-то даже если все со всем тривиально пересекается - не получается. Такое бывает, что две подгруппы прямо перемножаются, но в их произведении лежат куча подрупп, тривиально с ними пересекающиеся.

Вот какие мысли у меня еще появились. Пусть группа $C$ - состоит из каких-то пар $(a, b)$, группа $D$ из $(a', b')$. Так как произведение свободное, то не должно быть никаких соотношений между элементами. Все порождается, значит и некоторый элемент $(1, e)$ породится. $(1, e) = (a_1a_1'a_2a_2'..., b_1b_1'b_2b_2'...)$. Также порождается элемент $(1, e^{-1})$. Значит их произведение будет $(1, 1)$. Мы нашли некоторое нетривиальное соотноешние. Единственное, я в этом рассуждении спрятал 1001 подводный камень. Плохо, если начнутся вдруг сокращения (если начиналось, например, и заканчивалось слово на элементы из $C$). Плохо, если элемент $e$ имел порядок $2$ и слово получилось симметричным, тогда все со всем посокращается. Верится, что все случаи рассмотреть можно, но какое-нибудь элегантное решение хотелось бы увидеть...

[ИСН]

Чёрт, да, могут тривиально пересекаться все со всеми, и ничего.
А в Вашем рассуждении я не вижу причин, почему бы всё со всем не посокращалось.

[AV_77]

Курош А.Г. Теория групп, гл. IX, пар. 35.
Пусть $A \times B = C \ast D$. Сначала, используя теорему о подгруппах свободных произведений, доказываете, что группы $A$ и $B$ свободные (собственно, это основной шаг, у Куроша доказательство этой теоремы занимает почти 7 страниц). Отсюда компоненты групп $C$ и $D$ в группах $A$ и $B$ изоморфны группам $C$ и $D$, откуда $C$ и $D$ также свободные группы и сама группа $G$, следовательно, свободная. Ну а дальше невозможность разложения свободной группы в прямое произведение.

[Sonic86]

А проще неужели нельзя? Или м.б. есть короткие варианты доказательства?
Я вот нашел абелеву подгруппу в $G$, но дальше мне это не помогло.

[AV_77]

Sonic86 в сообщении #878877 писал(а):

Или м.б. есть короткие варианты доказательства?

7 листов занимает доказательство теоремы о строении подгрупп свободного произведения. А нужное нам утверждение потом доказывается максимум на треть страницы. Куда уж короче

[Foxer]

Sonic86, мне рассказали простое решение. Как будет время - напишу.

[Foxer]

Простое доказательство следующее.
Пусть у нас группа разложилась в $G = A \times B = C * D$, посмотрим на нее со стороны прямого произведения. Возьмем какой-то элемент $(a, b)$, несложно заметить, что централизатор этого элемента будет $C(a) \times C(b)$ - прямое произведение централизаторов. Возьмем элемент из свободного произведения $cd$, несложно заметить, что он коммутирует лишь со своими степенями, а значит его централизатор изоморфен бесконечной циклической группе. Но бесконечная циклическая группа не раскладывается в прямое произведение, как известно.