Символ оператора

[Tun]

Решаю задачу по асимптотическим методам, дано ур-е Шредингера, просят найти символ оператора H(z), что это?

[Munin]

Это скорее в математику. Как я понял, это классический гамильтониан.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #875765 писал(а):

Это скорее в математику. Как я понял, это классический гамильтониан.

Скорее матричный элемент в глауберговском базисе (или базисе Бергмана-Фока -- не сильно отличается). Во всяком случае, в известной книжке Славнова-Фаддеева слова "символ оператора" по сути используются именно в таком смысле.

А вообще термин, пожалуй, не очень стандартный. Встречал я его и в несколько ином контексте и с несколько иным (хотя и близким) смыслом. Так что ответ на вопрос вряд ли возможен. Нужно знать в каком именно смысле "символ оператора".

[espe]

Tun в сообщении #875740 писал(а):

символ оператора H(z), что это?

Символ оператора определяется так. Задаётся какое-либо упорядочение операторов, например операторы координат слева, импульсы справа $\hat{H}=\sum_{m,n=0}^\infty C_{m,k} (\hat{x})^m (\hat{p})^n,$ $C_{m,k}$ -- числа (вообще говоря ряд по $\hbar$). Потом значки операторов (шляпки) убираете и получаете функцию -- символ оператора для данного упорядочивания. Символом оператора $\hat{H}$ для $xp$ упорядочивания будет функция $H(x,p)=\sum_{m,n=0}^\infty C_{m,k} x^m p^n.$

[Munin]

espe
Объясните, чем итог этих действий отличается от классического гамильтониана до квантования.

[espe]

Символ оператора, вообще говоря, ряд по $\hbar,$ $H(x,p)=\sum_{k=0} \hbar^k H^{(k)}(x,p),$ где $H^{(0)}(x,p)$ -- классическое выражение для физической величины, соответствующей данному оператору (принцип соответствия), в том числе и для гамильтониана. Если все $H^{(k)}(x,p)=0,$ $k>0$, то символ оператора совпадает с классическим выражением для физ. величины.

[Munin]

Можно в обычной классической механике показать пример гамильтониана со старшими членами по $\hbar$ в этом смысле? (То есть, не "съедаемыми" операторами импульса.)

[espe]

Может быть что-нибудь на кривом фоне. Классический гамильтониан будет содержать кин. энергию в виде $\sim g^{ij}(x)p_ip_j.$ Если зафиксировать $xp$-упорядочивание, то $\sim g^{ij}(\hat{x})\hat{p}_i\hat{p}_j$ не будет эрмитовым и надо добавить что-то $\sim\hbar.$ Но можно попытаться получить хороший гамильтониан изменив упорядочивание так, чтобы он стал эрмитовым без членов $\sim\hbar,$ и получить что-то типа лаплассиана.

Ну а вообще эта наука используется при квантовании систем со связями. Там важно чтобы алгебра классических операторов величин (или как сказать) относительно скобки Пуассона переходила при квантовании в алгебру операторов относительно коммутаторов. Этого можно попытаться добиться как раз добавлением высших по $\hbar$ слагаемых. Для известных мне примеров всё в конце концов можно свести к какому-либо упорядочиванию операторов, где эти добавочные слагаемые не используются.

[Munin]

Спасибо!