Условный экстремум квадратичной функции

[B@R5uk]

Имеется квадратичная функция двух переменных:

$$M\left(x_1,x_2\right)=\left\|x_1\mathbf{A_1}+x_2\mathbf{A_2}+\mathbf{B}\right\|^2$$

где $\mathbf{A_1}$, $\mathbf{A_2}$ и $\mathbf{B}$ — некоторые вектора, причём $\mathbf{A_1}$, $\mathbf{A_2}$ линейно независимы. Требуется найти её минимум при наличии ограничений:

$$0\le x_1\le x_2\le 1$$

Решение должно быть аналитическим, а не численным. Как найти минимум $M\left(x_1,x_2\right)$ при отсутствии ограничений я знаю. В матричном виде он выглядит так (вектора понимаются как столбцы координат, записанные в некотором ортонормированном базисе):

$$\[\left( \begin{matrix} {{x}_{1m}} \\ {{x}_{2m}} \\ \end{matrix} \right)={{\left[ {{\left( {{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}},{{\mathbf{A}}_{\mathbf{2}}} \right)}^{T}}\left( {{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}},{{\mathbf{A}}_{\mathbf{2}}} \right) \right]}^{-1}}{{\left( {{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}},{{\mathbf{A}}_{\mathbf{2}}} \right)}^{T}}\mathbf{B}\]$$

$$\[M\left( {{x}_{1m}},{{x}_{2m}} \right)={{\left\| \mathbf{B} \right\|}^{2}}-\left( {{x}_{1m}},{{x}_{2m}} \right){{\left( {{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}},{{\mathbf{A}}_{\mathbf{2}}} \right)}^{T}}\mathbf{B}\]$$

Как подступиться к задаче при наличии ограничений-неравенств я без понятия. Подскажите, пожалуйста, с чего начать? Можно ли как-то использовать уже найденное решение глобального минимума?

[svv]

Что означает $(\mathbf A_1,\mathbf A_2)^T$ ?

[B@R5uk]

svv, транспонирование матрицы, составленной из двух столбцов.

[ex-math]

Ну а как обычно ищут наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области? У Вас треугольничек, посмотрите на границе и сравните с глобальным минимумом, если он внутри.

[B@R5uk]

ex-math, понятно, спасибо.