Технические вопросу по ур-ю Клейна-Гордона

[Vince Diesel]

Мда, обозначать одной буквой две разные функции, причем участвующие в одной формуле, это хороший способ создать путаницу

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #877683 писал(а):

С интуитивно-простецкой точки зрения $\delta'(x)$ отлична от нуля не только в нуле, но и в соседних с ним точках, поэтому она не годится в качестве решения. Я уверен, что это можно формализовать, но не представляю как.

Что-то мне помнится, что вроде как любую функцию с носителем в точке можно представить как ряд по производым от дельта-функции. Но не уверен. Однако если так, то довольно ясно, что все члены с производными от дельта-функции нужно выкинуть (занулить коэффициенты). Останется только производная нулевого порядка, т.е. сама дельта-функция. Вот и формализация.

А вообще проще преобразовать по Фурье только по 3-пространству и решить простое диффуравнение осциллятора. И все получится без затей. В общем можно догадаться почему у БШ так, не очень прозрачно: хотели чтобы все было явно лоренц-инвариантно, судя по всему. Но это, вообще говоря, излишество: лоренц-инвариантность ответа ТУТ (в классической части теории) и так ясна.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #877791 писал(а):

Что-то мне помнится, что вроде как любую функцию с носителем в точке можно представить как ряд по производым от дельта-функции. Но не уверен. Однако если так, то довольно ясно, что все члены с производными от дельта-функции нужно выкинуть (занулить коэффициенты). Останется только производная нулевого порядка, т.е. сама дельта-функция. Вот и формализация.

Да, это стандартная задача по обобщённым функциям – решить уравнение $xf =0$. Решение: для любой основной функции $\varphi$ имеем $(f,x\varphi)=0$. Если $\psi$ – основная функция, такая что $\psi(0)=0$, то $\psi(x)=x\varphi(x)$. Отсюда получаем, что $(f,\psi)=0$ для любой такой функции $\psi$. Наконец, если $\eta(0)=1$, то любая основная функция $h$ представима в виде $h(x)=C\eta(x)+\psi(x)$, откуда $(f,h)=C(f,\eta)=h(0)(f,\eta)$, откуда $f=(f,\eta)\delta(x)$.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #877791 писал(а):

Однако если так, то довольно ясно, что все члены с производными от дельта-функции нужно выкинуть (занулить коэффициенты).

Почему ясно? (Выкладок g______d я не понял, может быть, обозначений не всех знаю - $\eta$ - это что?)

Alex-Yu в сообщении #877791 писал(а):

А вообще проще преобразовать по Фурье только по 3-пространству и решить простое диффуравнение осциллятора. И все получится без затей.

Ну, это полумеры. Если фурьять, то по всем четырём направлениям.

[g______d]

$\varphi$, $\psi$, $\eta$, $h$ – гладкие функции с компактным носителем. Я немного сумбурно написал, но смысл в том, что из $xf=0$ следует, что $f$ зануляется на любых функциях вида $x\varphi$ и, следовательно, на любых функциях, которые в нуле равны нулю. Таким образом, значение функционала $f$ на функции $h$ зависит только от $h(0)$, из линейности получаем, что это возможно только если $f=C \delta(x)$.

[Munin]

Так, тогда у меня обратный вопрос: а какое должно быть аналогичное уравнение, чтобы решение было $f=C_1\delta'(x)+C_2\delta(x)$?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #877824 писал(а):

Почему ясно?

Потому что равенство функции нулю не означает равенства нулю ее производных. Например в отличие от равенства $x\delta(x)=0$ нет равенства $x\delta'(x)=0$. Ну и для более высоких степеней $x$ в случае высших производных. Просто устройте скалярное произведение с некой "основной функцией" и "перебросьте" производную.

Кстати, думаю можно доказать, что любая функция с носителем в точке равна сумме (с коэффициентами) производных от дельта-функции, если разложить в степенной ряд основную функцию. Но что-то мне не до детальной проверки, может как-нибудь потом ...

-- Сб июн 21, 2014 18:08:39 --

Munin в сообщении #877824 писал(а):

Ну, это полумеры. Если фурьять, то по всем четырём направлениям.

Вот еще Как говорил мой лектор по матану (во времена моей молодости) "я свободный человек, что хочу, то и пишу"

Кстати, БШ все равно потом переходят к 3-импульсу, так чего же "огород городить"? Сразу только 3-импульс и сделать.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #877860 писал(а):

нет равенства $x\delta'(x)=0$

Хм. Точно. Вот это да, понятно :-)
$x\delta'(x)=-\delta(x).$

Интересно, устроит ли это Ascold.

Alex-Yu в сообщении #877860 писал(а):

Вот еще :-) Как говорил мой лектор по матану (во времена моей молодости) "я свободный человек, что хочу, то и пишу" :-)

Ну это-то понятно. Я говорил всего лишь в том смысле, что методически это непоследовательность, и если хочется понять картину в фурье-образах, логично пофурьять всё. Заодно, результат будет и явно лоренц-инвариантен.

А 3-импульс - всего лишь способ параметризовать массовую поверхность. Можно было бы взять любой другой.

[g______d]

Munin в сообщении #877838 писал(а):

а какое должно быть аналогичное уравнение, чтобы решение было $f=C_1\delta'(x)+C_2\delta(x)$?

$x^2f=0$.

Alex-Yu в сообщении #877860 писал(а):

Кстати, думаю можно доказать, что любая функция с носителем в точке равна сумме (с коэффициентами) производных от дельта-функции

Можно, причём сумма обязательно будет конечной.

Alex-Yu в сообщении #877860 писал(а):

если разложить в степенной ряд основную функцию

Так не получится, основная функция может не быть аналитической.

[Munin]

g______d в сообщении #878105 писал(а):

$x^2f=0$.

Всё ясно, я спутал $(k^2-m^2)\widetilde{\varphi}=0$ и $(k-m)^2\widetilde{\varphi}=(k^2-2km+m^2)\widetilde{\varphi}=0.$ Что-то совсем расклеился. Всем пардон.

[Ascold]

Цитата:

(в процитированных формулах $\mathbf{k}$ записан тем же шрифтом, что $k,$ но это очевидная ошибка).

я тоже об этом при повторном чтении книги подумал, похоже, там просто опечатка. Впрочем, в этой книге иногда верхние индексы рисуют внизу, тоже как-то нарвался и весь мозг изломал, пока не прочёл то же самое у Бьёркена и Дрелла.
Про массовую поверхность и нюансы интегрирования по ней понял, посты авторов про обобщённые функции с загадочным словом "носитель" - нет.

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #879358 писал(а):

посты авторов про обобщённые функции с загадочным словом "носитель" - нет.

Если по простому, то это множество на котором функция не равна нулю. Точнее для обобщенных функций определяется немного не так, но легко догадаться как (через равные нулю на носителе основные функции).

[Munin]

Ascold в сообщении #879358 писал(а):

Впрочем, в этой книге иногда верхние индексы рисуют внизу

А это можно, если мы не заморачиваемся с криволинейными всякими координатами. Сам Фейнман любил все индексы снизу, и в некоторых ещё книгах это явно принято (например, Рубаков).

Ascold в сообщении #879358 писал(а):

посты авторов про обобщённые функции с загадочным словом "носитель" - нет.

Ну вы вообще знаете, что такое обобщённая функция, с точки зрения функционального анализа? (Весь функан учить не надо, только теорию обобщённых функций, по отдельности она, кажется, в Риде-Саймоне есть. И в Рихтмайере, под названием "распределения" (это принятый английский термин, distributions).)

[ChaosProcess]

g______d в сообщении #877792 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #877791 писал(а):

Что-то мне помнится, что вроде как любую функцию с носителем в точке можно представить как ряд по производым от дельта-функции. Но не уверен. Однако если так, то довольно ясно, что все члены с производными от дельта-функции нужно выкинуть (занулить коэффициенты). Останется только производная нулевого порядка, т.е. сама дельта-функция. Вот и формализация.

Да, это стандартная задача по обобщённым функциям – решить уравнение $xf =0$. Решение: для любой основной функции $\varphi$ имеем $(f,x\varphi)=0$. Если $\psi$ – основная функция, такая что $\psi(0)=0$, то $\psi(x)=x\varphi(x)$. Отсюда получаем, что $(f,\psi)=0$ для любой такой функции $\psi$. Наконец, если $\eta(0)=1$, то любая основная функция $h$ представима в виде $h(x)=C\eta(x)+\psi(x)$, откуда $(f,h)=C(f,\eta)=h(0)(f,\eta)$, откуда $f=(f,\eta)\delta(x)$.

Извините, я не понял, а как вы перебросили $x$ в $(f,x\phi)$? Ведь это гарантированно верно только для регулярных функционалов?

[g______d]

ChaosProcess в сообщении #880730 писал(а):

Извините, я не понял, а как вы перебросили $x$ в $(f,x\phi)$? Ведь это гарантированно верно только для регулярных функционалов?

Для регулярных это гарантированно верно, а для остальных – это определение $xf$: функционал, действие которого на $\varphi$ есть $(f,x\varphi)$.