Технические вопросу по ур-ю Клейна-Гордона

[Ascold]

Изучаю КТП, споткнулся на Фурье-разложении решения данного уравнения с применением дельта-функции. У Боголюбова и Ширкова, ("Квантованные поля", М., Наука, 1980) неясно, как на странице 35 из
$(k^2-m^2)\tilde{\varphi}(k)=0$ следует, что
$\tilde{\varphi}(k)=\sqrt{2\pi}\delta(k^2-m^2)\varphi(k)$
Что я не знаю о дельта функции, если не понимаю этот момент?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #877204 писал(а):

Изучаю КТП, споткнулся на Фурье-разложении решения данного уравнения с применением дельта-функции. У Боголюбова и Ширкова, ("Квантованные поля", М., Наука, 1980) неясно, как на странице 35 из
$(k^2-m^2)\tilde{\varphi}(k)=0$ следует, что
$\tilde{\varphi}(k)=\sqrt{2\pi}\delta(k^2-m^2)\varphi(k)$
Что я не знаю о дельта функции, если не понимаю этот момент?

Тождество $(k^2-m^2)\delta(k^2-m^2)=0$ гарантирует, что $\phi(k)$ такого вида удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона.

Существо дела здесь в том, что уравнение КГ определяет поле не везде, а только там, где $k^2-m^2 \ne 0$. А вот где $k^2-m^2=0$ (как говорят на массовой оболочке) поле может быть каким угодно. Вот это и выделенно явным образом. Естественно, вне массовой оболочки поле нулевое, это следует просто их уравнения КГ. А вот на массовой оболочке определить поле из КГ нельзя.

[Ascold]

Цитата:

А вот где $k^2-m^2=0$ (как говорят на массовой оболочке) поле может быть каким угодно. Вот это и выделено явным образом.

что поле м.б. каким угодно при условии $k^2-m^2=0$, и д.б. нулём в ином случае, я понимаю. Не понимаю, при чём здесь дельта-функция.
Или же дело всего лишь в том, что дельта-функция - единственная(?) простейшая функция, обладающая свойством быть нулём всюду, кроме единственной точки?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #877332 писал(а):

Или же дело всего лишь в том, что дельта-функция - единственная(?) простейшая функция, обладающая свойством быть нулём всюду, кроме единственной точки?

Конечно не единственная. Например производная от дельта-функции (точнее все производные и более высокого порядка тоже) обладает тем же свойством. Т.е. то, что приведенное выражение есть решение -- без сомнения. Но не очевидно, что это самое общее решение, что в общем решении не может быть еще чего-то, не сводящегося к этой формуле. Во всяком случае не очевидно без дополнительных доказательств.

Приведенное у Боголюбова-Ширкова рассуждение математически не строгое (что довольно обычное дело в физике). Но можно тот же результат получить более строго. Например, преобразуйте по фурье только по 3-пространству. Тогда УКГ превратится в простое уравнение осциллятора. Решение тривиально, при этом возникнут произвольные "постоянные" (зависящие от чисто пространственного волнового вектора, это по времени они постоянные). Выразите решение через эти "постоянные" и добавте оставшееся фурье-преобразование по времени. Получите тот же ответ, что дальше приводят Боголюбов-Ширков. Имеется в виду то, что получится дальше после разделения на положительно- и отрицательночастотные части. Это "доказывает" что приведенный трюк с дельта-функцией работает. Хотя, конечно, к таким трюкам нужно относиться осторожно, можно и "нарваться". Хотя я не знаю примера, когда не работает именно это трюк, что мы здесь обсуждаем.

[Munin]

А что получится, если взять, скажем, производную от дельта-функции по $\omega$ на массовой поверхности, и сделать обратное преобразование Фурье в координатную область?

Впрочем, дайте я сам отвечу. Дифференцирование по одну сторону фурье есть умножение на аргумент по другую сторону. То есть, получается, что кроме решения Клейна-Гордона $\varphi(x^\mu)$ валидным будет также решение $t\varphi(x^\mu).$ Но оно нам не нравится чисто физически, потому что мы все волновые функции нормируем на единицу. Вуаля! :-)

[type2b]

$t\varphi(x^\mu)$ не будет решением. возьмите волновое уравнение для примера.

[Munin]

Хм. Да. Тогда где ошибка?

[warlock66613]

С интуитивно-простецкой точки зрения $\delta'(x)$ отлична от нуля не только в нуле, но и в соседних с ним точках, поэтому она не годится в качестве решения. Я уверен, что это можно формализовать, но не представляю как.

[Vince Diesel]

Возьмем функцию $\varphi(x)=e^{imx}$. Она удовлетворяет уравнению $(k^2-m^2)\tilde{\varphi}(k)=0$. Но почему она удовлетворяет уравнению $\tilde{\varphi}(k)=\sqrt{2\pi}\delta(k^2-m^2)\varphi(k)$, ведь $\varphi(\pm m)=e^{\pm im^2}$, а $\tilde{\varphi}(k)=\sqrt{2\pi}\delta(k-m)$?

[warlock66613]

Vince Diesel в сообщении #877686 писал(а):

Возьмем функцию $\varphi(x)=e^{imx}$. Она удовлетворяет уравнению $(k^2-m^2)\tilde{\varphi}(k)=0$.

Как так? Уравнение же для $\tilde{\varphi}$, а не для $\varphi$, да и если подставить ноль никак не получается...

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #877686 писал(а):

ведь $\varphi(\pm m)=e^{\pm im^2}$

Подставлять $\pm m$ надо в $\tilde{\varphi}(k).$ Для этого решения будет $\varphi(\mathbf{k})=\delta(\mathbf{k})$ (зря её вообще той же буквой обозначили, это же не искомая функция, а амплитуда решения).

[Vince Diesel]

Книжку не читал, предполагал, что $\tilde \varphi$ — это преобразование Фурье от $\varphi$. Если так, все еще не понимаю, как одно равно другому. Если $\varphi(x)=e^{imx}$ — функция одного переменного, то $\tilde \varphi(k)=\sqrt{2\pi}\delta(k-m)$ имеет носитель в одной точке, а $\delta(k^2-m^2)\varphi(k)$ в двух точках, $\pm m$.

[warlock66613]

Vince Diesel в сообщении #877715 писал(а):

$\tilde \varphi$ — это преобразование Фурье от $\varphi$

Да нет, $\varphi(k)$ - это просто произвольная функция, возникающая при решении уравнения.

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #877715 писал(а):

Книжку не читал, предполагал, что $\tilde \varphi$ — это преобразование Фурье от $\varphi$.

Да, только обратите внимание, $\tilde{\varphi}(k)$ — это преобразование Фурье от $\varphi(x)$! А $\varphi(\mathbf{k})$ - это совсем другая функция, не $\varphi(x).$ Здесь $k$ и $x$ - 4-векторы, хоть и записанные без индекса, а $\mathbf{k}$ - пространственный 3-вектор, пространственная часть 4-вектора $k=(\omega,\mathbf{k})$ (в процитированных формулах $\mathbf{k}$ записан тем же шрифтом, что $k,$ но это очевидная ошибка).

[Vince Diesel]

Мда, обозначать одной буквой две разные функции, причем участвующие в одной формуле, это хороший способ создать путаницу