физический смысл производной

[redfield]

Объясните, пожалуйста, такую вещь:
Физический смысл производной функции одной переменной в точке – скорость изменения данной функции в данной точке или тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке;
Физический смысл второй производной функции одной переменной в точке – скорость изменения производной, или ускорение;
Физический смысл частной производной по одной из переменных функции двух переменных в точке – скорость изменения данной функции в данной точке по одной переменной при фиксированном значении другой, если я правильно понимаю.
А вот каков физический смысл производной по двум переменным (первой степени) функции двух переменных?

[Алексей К.]

redfield писал(а):

Объясните, пожалуйста, такую вещь:
Физический смысл производной функции одной переменной в точке – скорость изменения данной функции в данной точке или тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке;

Ну, один из этих "смыслов" --- физический, второй традиционно называют геометрическим. Но это не важно.

У Вас есть функции $F(x,y)$, $G(x,y)$ и проч. Вам понятен смысл выражений $\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial G}{\partial y}$, но непонятен смысл выражения $\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}$.
Докажем обратное --- что Вам всё понятно.

Доказательство. Имеется некая функция двух переменных $F(x,y)$. Возьмём частную производную $\frac{\partial F}{\partial x}$. Это какая-то новая функция двух переменных, которую при желании можно наполнить каким-то из этих смыслов (а при некой привычке в этом уже не будет нужды). Обозначим её $G(x,y)$: $G(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}$. Продифференцируем её по $y$: $\frac{\partial G(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}$. Поскольку смысл выражений $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}$, $\frac{\partial G(x,y)}{\partial y}$ Вам понятен, значит Вам понятен и смысл выражения $\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}$. Что и требовалось доказать. $\bullet$

Остаётся аналогичным образом поиграть со словами, сделать аналогичные подстановки, но выражения, которые при этом получатся столь громоздки, что я их боюсь выписывать...

Добавлено спустя 13 минут 6 секунд:

Но вместо словес можно с графиками побаловаться. 3-х мерные картинки поддаются рисованию и анализу. Нарисуйте поверхность --- график некой функции $F(x,y)$. Изобразите подробнее несколько (3-5) параллельных сечений при $y=0;\: y=1,\:\ldots, \: y=4$. 5 графиков пяти функций одной переменной подмените графиками их производных. Вместе они дадут новую поверхность и представление о функции $G(x,y)=F^\prime_x(x,y)$. Теперь --- в перпендикулярном направлении изучаем $G^\prime_y=F^{\prime\prime}_{xy}$...

[redfield]

Спасибо. Т. е. как в игре: 1) представте себе, что вы думаете;2) представьте себе, что вы думаете, что вы думаете; 3)представьте себе, что вы думаете, что вы думаете, что вы думаете и т. д. Кто больше

[tolstopuz]

redfield писал(а):

А вот каков физический смысл производной по двум переменным (первой степени) функции двух переменных?

Смотрите в сторону гессиана, второй фундаментальной формы, индикатрисы Дюпена. Грубо говоря, геометрический смысл матрицы вторых производных - кривизна поверхности.

[worm2]

В общем, можно сказать, у Вас не у одного такие проблемы с пониманием "физического смысла" этой производной. Можно сказать, я тоже не особенно представляю себе, как "пощупать" эту смешанную производную. Ровно то же я могу сказать и о третьей производной по одному направлению (и, разумеется, о производных высших порядков).

Предлагаю следующее пояснение за неимением лучшего:

Пусть функция равна нулю в нуле.
Физический смысл 1-й производной по x --- это то, насколько функция "похожа" на функцию z(x,y)=x в направлении Ox.

Пусть функция и её производная по x (которую мы уже "понимаем") равны нулю в нуле.
Физический смысл 2-й производной по x --- это то, насколько функция "похожа" на функцию z(x,y)=$x^2$ в направлении Ox.

... и т.д.

Аналогично в направлении y.


Пусть теперь функция равна нулю в нуле, а также равны нулю все первые производные(как по x, так и по y).
Физический смысл смешанной производной --- это то, насколько функция "похожа" на функцию z(x,y) = xy.

Что это за функция? Вы можете себе её представить? Если Вы не видели графика функции z=xy, то могу сказать, что он похож на седло, если сидеть на нём, обратившись лицом по диагонали "вправо-вверх" или "влево-вниз". Если наша (исследуемая) функция имеет "седловидность", обращённую в этом направлении, то её смешанная производная будет положительна. Если же она имеет "седловидность", обращённую в перепендикулярном направлении ("вправо-вниз" или "влево-вверх"), то её смешанная производная будет отрицательна. Наконец, если "седловидности" не наблюдается (например, F(x,y) = $x^2$+$y^2$ --- это параболоид вращения, седлом здесь и не пахнет), то смешанная производная будет равна 0.

Сравнения, конечно, сильно хромают. Однако качественно понять физический смысл производной $\frac{\partial^{m+n} F}{\partial x^m \partial y^n}$ Вы сможете настолько, насколько Вы сможете представить себе поведение функции $z(x,y)=x^my^n$.

[luitzen]

worm2 писал(а):

Ровно то же я могу сказать и о третьей производной…

Иногда третьей производной можно придать физический смысл. Второй закон Ньютона гарантирует пропорциональность ускорения (второй производной координаты по времени) некоей «силе». Третья производная положительна — «сила» увеличивается. Это может означать, например, что мы уже прошли апогей орбиты, ну и т. п.

[AD]

redfield писал(а):

1) представте себе, что вы думаете;
2) представьте себе, что вы думаете, что вы думаете;
3) представьте себе, что вы думаете, что вы думаете, что вы думаете
и т. д.

$\infty$) А через некоторое время вы думаете, что можете подумать так сколько угодно раз.
$\infty+1$)И думаете, что этот процесс может заходить сколь угодно далеко;
$\infty+2$)И думаете, что этот процесс может заходить сколь угодно далеко;
и т.д.
$\infty+\infty$)И думаете, что процесс думания о том, что этот процесс может заходить сколь угодно далеко, может заходить сколь угодно далеко;
и т.д.

Это - физический смысл трансфинитной индукции.

Правда, оффтоп получился, но раз уж автор подкинул мысль ...

[redfield]

Как раз потому что не дано мне овладеть трансфинитной индукцией, вот и пытаюсь найти подпорки.

Добавлено спустя 8 минут 27 секунд:

Re: физический смысл производной

tolstopuz писал(а):

redfield писал(а):

Грубо говоря, геометрический смысл матрицы вторых производных - кривизна поверхности.

Геометрический смысл второй производной по одной переменной - действительно описывает степень кривизны. А вот то, что последовательное дифференцирование по двум разным переменным даёт кривизну - непонятно. Это всё-таки две первые производные по двум направлениям. Т.Е. не понимаю.

[Алексей К.]

redfield писал(а):

А вот то, что последовательное дифференцирование по двум разным переменным даёт кривизну - непонятно. Это всё-таки две первые производные по двум направлениям. Т.Е. не понимаю.

Кривизну даёт весь блок, комбинация вторых производных --- упомянутая выше матрица. Главные составляющие --- именно "чисто вторые" производные, а смешанная --- вроде некой уточняющей поправки. Естественно, есть случай когда вся кривизна в этих поправках и сидит --- седло, которое прямое в двух перпендикулярных направлениях, но всё же "в сумме" --- кривоватое.
Да и в простейшем случае --- кривизна графика функции $y(x)$, равная $\frac{y^{\prime\prime}}{ \left(\sqrt {1+{y^\prime}^2} \right)^3}$, содержит первую производную как некую поправку.

[tolstopuz]

redfield писал(а):

Геометрический смысл второй производной по одной переменной - действительно описывает степень кривизны. А вот то, что последовательное дифференцирование по двум разным переменным даёт кривизну - непонятно.

Если не учитывать постоянную и линейную части, не влияющие на кривизну, то уравнение функции двух переменных (отбрасывая члены выше второго порядка) вблизи начала координат имеет вид

$$f(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}x^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}xy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}y^2$$

.

Это частный случай конического сечения, которые проходят в курсе аналитической геометрии. Там учат, что разумным поворотом координат можно избавиться от коэффициента при $xy$ (так называемый переход к главным осям):

$$f(x',y')=ax'^2+by'^2$$

.

А эта функция уже подвластна здравому смыслу: если $a$ и $b$ одного знака, то это эллиптический параболоид, если разного - гиперболический параболоид.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B8%D0%B4

Чем больше $a$ и $b$, тем круче график и больше кривизна в начале координат.

[Leonov]

Алексей К. писал(а):

Это какая-то новая функция двух переменных, которую при желании можно наполнить каким-то из этих смыслов (а при некой привычке в этом уже не будет нужды).

Вот откуда берется эта абстрактная бредятина.

PAV:

Предупреждение. Оффтоп и флейм.