Матожидание

[R_e_n]

Здравствуйте, проверьте, пожалуйста мои рассуждения.
Задача:
Пусть есть число $x=1$. За одну итерацию число с вероятностью $\frac 1 2$ умножается на $a=0.5$ и
с вероятностью $\frac 1 2$ на $b=1.5$.
Найти матожидание числа $x$ за $n$ итераций.
Решение.
По формуле полной вероятности:
$M(x)=(\frac 1 2)^{n} \cdot a^{n} \cdot b^{0} \cdot C_n^0+(\frac 1 2)^{n} \cdot a^{n-1} \cdot b^{1} \cdot C_n^1+...+(\frac 1 2)^{n} \cdot a^{0} \cdot b^{n} \cdot C_n^n=(\frac 1 2 \cdot a + \frac 1 2 \cdot b)^n=1^n=1$

Т.е. в среднем ожидаем 1.

В среднем умножений на $a$ и на $b$ одинаковое количество$a \cdot b<1$. Значит со временем $x$ стремится к нулю.
Я это запрограммировал. $n=100000$ и запустил несколько раз


Почему же матожидание равно 1? Или я не правильно посчитал матожидание? Вроде понятно, что 1 должно получаться из-за больших значений $x$ при множителей $b$ больше, чем $a$. Но все равно, что-то мне не нравится.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Запишите все формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[V_I_Sushkov]

А что в Вашей распечатке?

[R_e_n]

V_I_Sushkov в сообщении #876062 писал(а):

А что в Вашей распечатке?

Это чему равен $M(x)$, при $n=1000\$. Одна строка - один запуск программы. Выше я ошибся, там$ n=1000$. При $a=0.95$ и $b=1.05$ было равно $n=100000$ результат примерно такой же.

[ИСН]

$M(x)$, как Вы указали в самом начале, равен единице. Так что в распечатке-то? Может, среднее по какой-то выборке? Какой, на сколько штук?

[Pphantom]

Пусть выполнено $2\,N$ умножений. В среднем (не будем пока пользовать страшные термины вроде "матожидания") число будет умножено $N$ раз на $0.5$ и $N$ же раз - на $1.5$. Тем самым оно будет уможено на $0.5^N \cdot 1.5^N = (0.5 \cdot 1.5)^N = 0.75^N$, что при $N \to \infty$, очевидно, стремится к нулю. И чему же Вы удивляетесь?

[R_e_n]

ИСН в сообщении #876070 писал(а):

$M(x)$, как Вы указали в самом начале, равен единице. Так что в распечатке-то? Может, среднее по какой-то выборке? Какой, на сколько штук?

Да, вы меня раскусили, это даже не выборочное среднее, это всего лишь единичные значения $x$ после тысячи итераций.
Добавил усреднение по выборке объема 1000. Получил почти тоже самое.

На всякий случай, код на питоне:
http://ideone.com/6WhWT1

-- 16.06.2014, 18:30 --

Pphantom в сообщении #876095 писал(а):

Пусть выполнено $2\,N$ умножений. В среднем (не будем пока пользовать страшные термины вроде "матожидания") число будет умножено $N$ раз на $0.5$ и $N$ же раз - на $1.5$. Тем самым оно будет уможено на $0.5^N \cdot 1.5^N = (0.5 \cdot 1.5)^N = 0.75^N$, что при $N \to \infty$, очевидно, стремится к нулю. И чему же Вы удивляетесь?

То что произведение стремится к нулю вроде понятно. Но ведь и матожидание тоже должно стремиться к нулю? Почему оно не стремится? Или я не правильно посчитал?

[Pphantom]

R_e_n в сообщении #876103 писал(а):

То что произведение стремится к нулю вроде понятно. Но ведь и матожидание тоже должно стремиться к нулю? Почему оно не стремится? Или я не правильно посчитал?

А почему Вы уверены, что наиболее вероятный результат и матожидание - это одно и то же?

Можно рассмотреть простой пример. Пусть есть лотерея, в которой в среднем один участник из миллиона выигрывает миллиард каких-то денег, а все остальные - ничего. Матожидание выигрыша - один миллион денег. Наиболее вероятный результат - нуль. Статистика по десятку тысяч любителей поиграть тоже с большой вероятностью даст нуль. Ничего не напоминает?

[R_e_n]

Pphantom в сообщении #876124 писал(а):

R_e_n в сообщении #876103 писал(а):

То что произведение стремится к нулю вроде понятно. Но ведь и матожидание тоже должно стремиться к нулю? Почему оно не стремится? Или я не правильно посчитал?

А почему Вы уверены, что наиболее вероятный результат и матожидание - это одно и то же?

Можно рассмотреть простой пример. Пусть есть лотерея, в которой в среднем один участник из миллиона выигрывает миллиард каких-то денег, а все остальные - ничего. Матожидание выигрыша - один миллион денег. Наиболее вероятный результат - нуль. Статистика по десятку тысяч любителей поиграть тоже с большой вероятностью даст нуль. Ничего не напоминает?

Да, спасибо, я понял:)