Возможно, я не учитываю каких-то тонкостей. Но берем Вашего Кудрявцева, том 2 (издание 2004 года), параграф 41.6 «Дифференцируемые отображения» и читаем:
Цитата:
Используя это обозначение, определение дифференцируемости (41.48) можно переписать в виде

Матрица дифференциала

называется производной отображения

в точке

и обозначается через

.
Здесь

можно понимать как вектор в

. Возьмем теперь

линейно независимых векторов

. Отложив их от точки

, построим на них параллелепипед. Из (41.49) следует, что с точностью до членов высшего порядка его образом будет другой параллелепипед, построенный на таких-то (найдите самостоятельно) векторах, отложенных от точки

. А объем параллелепипеда, построенного на

векторах в

, находится как раз через определитель, составленный из координат векторов, и всё получается как надо.
но нужно доказать, что от точки вообще говоря не зависит
Не очень понял Вас. Якобиан, канешножэ, зависит от точки.