Якобиан

[loshka]

Здравствуйте,рассматриваю сейчас тему, метод замены переменных в интеграле Лебега, рассматриваются прямоугольник ему при отображение соответствует криволинейный четырехугольник ,хочу найти доказательство факта, что предел отношения меры прямоугольника к мере криволинейного прямоугольника при стремление размеров этих прямоугольников к нулю есть модуль Якобиана, извините, что не в виде формул, не знаю, как это написать в Texe, подскажите пожалуйста в каком учебнике можно прочитать доказательство этого факта

[shetlandalexander]

Нам преподаватель объяснял через вектора. Как буду дома - распишу

[Aritaborian]

(Бу-бу-бу)

shetlandalexander в сообщении #875404 писал(а):

вектора

Векторы.

[loshka]

Жду с нетерпением shetlandalexander

[Lia]

Оффтоп отделен в «Векторы vs Векторá»

[SpBTimes]

А вам как это строили, в многомерном пространстве? Попробуйте на двумерном для начала, ведь делается по аналогии с заменой в Римановом интеграле.

[loshka]

в двухмерном пространстве, для фиксированной точке вроде бы не сложно, но нужно доказать, что от точки вообще говоря не зависит, тут вообще беда. Эм,что-то в Римановом интеграле при замене переменных я не особо припоминаю применение Якобиана

[loshka]

$\mu\delta(u,v,ah,bh)=|J(u,v)|abh^2(1+\lambda(u,v,h))$
Где $\lambda(u,v,h)$ сходиться равномерно к $0$ при $h\rightarrow 0$ где $\delta(u,v,ah,bh)$ криволинейный четырехугольник получившийся при отображение.

Прочитал доказательство в Кудрявцеве, там довольно сложное и дано для n-мерного случая, и не очень понятно, как доказать равномерную сходимость

[svv]

Возможно, я не учитываю каких-то тонкостей. Но берем Вашего Кудрявцева, том 2 (издание 2004 года), параграф 41.6 «Дифференцируемые отображения» и читаем:

Цитата:

Используя это обозначение, определение дифференцируемости (41.48) можно переписать в виде

$$f(x+h)=f(x)+Df(x)(h)+o(h),\quad h\to 0\eqno{(41.49)}$$

Матрица дифференциала $Df(x)$ называется производной отображения $f$ в точке $x$ и обозначается через $f'(x)$.

Здесь $h$ можно понимать как вектор в $\mathbb R^n$. Возьмем теперь $n$ линейно независимых векторов $h_1, ... , h_n$. Отложив их от точки $x$, построим на них параллелепипед. Из (41.49) следует, что с точностью до членов высшего порядка его образом будет другой параллелепипед, построенный на таких-то (найдите самостоятельно) векторах, отложенных от точки $f(x)$. А объем параллелепипеда, построенного на $n$ векторах в $\mathbb R^n$, находится как раз через определитель, составленный из координат векторов, и всё получается как надо.

loshka в сообщении #875506 писал(а):

но нужно доказать, что от точки вообще говоря не зависит

Не очень понял Вас. Якобиан, канешножэ, зависит от точки.

[loshka]

якобиан то да, а вот что от точки выбора построения прямоугольников не зависит, а зависит только от их сторон это доказать проблематично, думаю пока что это задание мне не под силу

[svv]

Поясните, пожалуйста, что именно не зависит от точки построения прямоугольников? Это та точка, которая у меня обозначена $x$. По-моему, в нелинейном случае от неё всё зависит.

[loshka]

берется точка с кординатами $(u,v)$ и строиться по оси $Ox$ от этой точки отрезок длинной $a$ по оси $Oy$ отрезок длинной $b$, и дальше достраивается до прямоугольника, при отображение ему соответствует криволинейный четырехугольник(мы рассматриваем только гомеоморфные, дифференцируемые отображения)
и вот потом делается утверждение, что предел отношения меры прямоугольника к мере криволинейного прямоугольника при стремление размеров этих прямоугольников к нулю есть модуль Якобиана, а потом преподаватель, как-то хитро сформулировал это утверждение немного в другой форме в виде леммы,которую я написал 4 постами выше и предложил нам ее доказать, и я так и не могу понять $\lambda(u,v)$-это как я понимаю линейная функция, а что такое $\lambda(u,v,h)$ для меня не совсем понятно

[loshka]

и вот это равенство, вообще говоря не зависит от выбора точки, а только от размеров этих прямоугольников

[svv]

Ещё один момент.

loshka в сообщении #875637 писал(а):

$\mu\delta(u,v,ah,bh)=|J(u,v)|abh^2(1+\lambda(u,v,h))$

Даже если мы не знаем, что означает $\lambda$ в этой формуле, здесь, как минимум, утверждается, что частное $\frac{\mu\delta(u,v,ah,bh)}{ab}$ не зависит от $a, b$ или их произведения. То есть что мера образа прямоугольника пропорциональна $a$ и $b$. А это неверно.

[loshka]

Эм, не очень понимаю Вашу мысль, да не зависит от $a$ и $b$, а почему мера образа прямоугольника не может быть пропорциональна $a$ и $b$ ведь по факту $abh^2$ это мера прямоугольника и как раз это практически и требуется доказать, что мера образа прямоугольника пропорциональна мере прямоугольнику( в пределе разумеется)