Среднее геометрическое в трапеции

[Ivan P]

Хочу разобраться, как решать следующую задачу.



На рисунке отрезки с длинами $ x_1,...,x_n_-_1 $, параллельные основаниям трапеции, равным a и b, разбивают её на n подобных друг другу трапеций. Докажите, что ​

$$x_n=\sqrt[n]{a^{n-k}b^k}, k=1,2, ... , n-1,$$

то есть k-й отрезок является средним геометрическим для n отрезков, из которых (n-k) равны a и k отрезков равны b.

Как я решал.
Вообще трапеции подобны, если у них углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Если рассмотреть обычную трапецию, разбитую отрезком x, параллельным основаниям, с концами на боковых сторонах, то, очевидно, он равен среднему геометрическому оснований, то есть ​

$$ x = \sqrt{ab}.$$

Далее, если мы будем подрисовывать к данной трапеции новые, то мы сможем выразить k-й отрезок. У меня получилось, что он равен

$$x_k=\sqrt[k+1]{ax_{k+1}^k}.$$

А если точно также подрисовывать трапеции сверху, то получается, что

$$x_{n-k}=\sqrt[k+1]{x_{n-k-1}^{k}b}.$$

Что-то у меня не получается из этого выразить то, что нужно. Буду благодарен за любую помощь.

Lia: Не надо единичные символы италиком, оформляйте как формулы.

[Ivan P]

Так и не получается выразить. Возможно, это не геометрия уже, но мне очень хочется понять, как это можно сделать.

[_Ivana]

(Оффтоп)

Ivan P, подъем темы бессодержательными сообщениями здесь наказывается. И это правильно.

[Ivan P]

(Оффтоп)

_Ivana в сообщении #875777 писал(а):

Ivan P, подъем темы бессодержательными сообщениями здесь наказывается. И это правильно.

Я хотел отредактировать исходное сообщение, но там пропал значок "править".
Подумал, что можно написать сообщение, и оно склеится с предыдущим. Вроде, так раньше было.

[_Ivana]

Как я и предполагал, доказывается тривиально в одну строчку. Кстати, у вас ошибка (опечатка) в задании - вместо $x_n$ должно быть $x_k$. Неужели опять вам подсказывать в такой простой задаче? Давайте уже самостоятельно думайте.
Если не получается, подсказка в оффтопе

(Оффтоп)

Выразите произвольное $x_k$ через $a$ и коэффициенты подобия, затем через $b$ и коэффициенты подобия.

ЗЫ надеюсь, это не та страшная задача для 7 класса, которую "не могли решить преподаватели матфака", и которую вы на самом деле знаете, как решить?

[Ivan P]

И правда. Эх, я такой глупый, не заметил даже, что это обычная геометрическая прогрессия.
_Ivana Спасибо большое!

[_Ivana]

Для корректного доказательства требуется еще доказать равенство коэффициентов подобия всех соседних трапеций, но это также тривиально.

ЗЫ а вообще это очень напоминает гитарный гриф. Можете подумать и доказать, почему.

[Ivan P]

Я понял. Очень благодарен. Спасибо!

_Ivana в сообщении #875790 писал(а):

ЗЫ надеюсь, это не та страшная задача для 7 класса, которую "не могли решить преподаватели матфака", и которую вы на самом деле знаете, как решить?

та самая задача
topic85484.html

-- 16.06.2014, 00:11 --

_Ivana в сообщении #875795 писал(а):

а вообще это очень напоминает гитарный гриф

Мне кажется, что вот эта трапеция больше напоминает гитарный гриф.

Здесь

$$x_k=\sqrt {\displaystyle {(n-k)a^2+kb^2\above 1pt n}}, k=1,2, ... , n-1,$$

то есть $k$-й отрезок является средним квадратичным для $n$ отрезков, из которых $(n-k)$ равны $a$ и $k$ отрезков равны $b$.