линейное диф уравнение

[laptop]

добрый день
у меня есть уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом:
$y''(x)+\frac{Cy(x)}{x}=0, C>0, x\in[0,\infty]$
Функция $y(x)\in L_{2}([0,\infty])$
Не могу придумать, как найти его решение. Видимо здесь запрятана какая-то фишечка. Помогите, пожалуйста :)

[Oleg Zubelevich]

laptop в сообщении #875738 писал(а):

нелинейное диф уравнени

линейное

а интегрироваться явно оно не обязано

[laptop]

Oleg Zubelevich в сообщении #875739 писал(а):

laptop в сообщении #875738 писал(а):

нелинейное диф уравнени

линейное

а интегрироваться явно оно не обязано

утверждается, что решение его все-таки можно найти.

[Sonic86]

Если я не ошибся, то решение находится в виде ряда Маклорена. Ряд похож на ряд для функции Бесселя. Ну и найдите.

[ИСН]

Шрёдингер в кулоновском потенциале решается точно. А куда у Вас энергия пропала?

[laptop]

Sonic86 в сообщении #875743 писал(а):

Если я не ошибся, то решение находится в виде ряда Маклорена. Ряд похож на ряд для функции Бесселя. Ну и найдите.

Просто сказать, да не просто сделать.. Первым делом можно сделать замену $y(x)=x*f(x)$, где f какая-то функция. Дальше решение ищется в виде ряда. Получается рекуррентное соотношение первого порядка. Без проблем все коэффициенты выражаются через нулевой. А далее видимо нужно воспользоваться условием существования решения в $L_{2}$ и как-то оборвать ряд. Но вот как, я не знаю

-- 15.06.2014, 23:55 --

ИСН в сообщении #875750 писал(а):

Шрёдингер в кулоновском потенциале решается точно. А куда у Вас энергия пропала?

Энергия-то действительно есть. Первая идея была искать решение в виде произведения асимптотик. Это есть асимптотика в нуле. А дальше уж и над Шредингером думать. Или Шредингер с энергией проще решать?

[Munin]

ИСН в сообщении #875750 писал(а):

Шрёдингер в кулоновском потенциале решается точно.

Это в тридэшечке. А здесь 1D.

[ИСН]

Чёрт, ведь да.
(Мне было на момент показалось, что для s-орбитали это несущественно. Ага, как же.)

[Sonic86]

laptop в сообщении #875760 писал(а):

А далее видимо нужно воспользоваться условием существования решения в $L_{2}$ и как-то оборвать ряд. Но вот как, я не знаю

А почему? $L_2$ - это многочлены что-ли?

[Ms-dos4]

Sonic86
Это функции, для которых (в данном случае) $\[\int\limits_0^\infty {{{\left| \psi \right|}^2}dx} < \infty \]$

[Sonic86]

Ms-dos4, спасибо, понял.
Но зачем обрывать тогда ряд, мне непонятно

[ИСН]

Не оборвать, а найти условия, при которых он сам обрывается. По аналогии с известными точными решениями. Только сначала надо вынести асимптотику на бесконечности, а то не сойдётся ничего.