2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 линейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 18:55 
добрый день
у меня есть уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом:
$y''(x)+\frac{Cy(x)}{x}=0, C>0, x\in[0,\infty]$
Функция $y(x)\in L_{2}([0,\infty])$
Не могу придумать, как найти его решение. Видимо здесь запрятана какая-то фишечка. Помогите, пожалуйста :)

 
 
 
 Re: нелинейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 19:04 
laptop в сообщении #875738 писал(а):
нелинейное диф уравнени

линейное

а интегрироваться явно оно не обязано

 
 
 
 Re: нелинейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 19:14 
Oleg Zubelevich в сообщении #875739 писал(а):
laptop в сообщении #875738 писал(а):
нелинейное диф уравнени

линейное

а интегрироваться явно оно не обязано

утверждается, что решение его все-таки можно найти.

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 19:24 
Если я не ошибся, то решение находится в виде ряда Маклорена. Ряд похож на ряд для функции Бесселя. Ну и найдите.

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 19:55 
Аватара пользователя
Шрёдингер в кулоновском потенциале решается точно. А куда у Вас энергия пропала?

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 20:51 
Sonic86 в сообщении #875743 писал(а):
Если я не ошибся, то решение находится в виде ряда Маклорена. Ряд похож на ряд для функции Бесселя. Ну и найдите.


Просто сказать, да не просто сделать.. Первым делом можно сделать замену $y(x)=x*f(x)$, где f какая-то функция. Дальше решение ищется в виде ряда. Получается рекуррентное соотношение первого порядка. Без проблем все коэффициенты выражаются через нулевой. А далее видимо нужно воспользоваться условием существования решения в $L_{2}$ и как-то оборвать ряд. Но вот как, я не знаю

-- 15.06.2014, 23:55 --

ИСН в сообщении #875750 писал(а):
Шрёдингер в кулоновском потенциале решается точно. А куда у Вас энергия пропала?

Энергия-то действительно есть. Первая идея была искать решение в виде произведения асимптотик. Это есть асимптотика в нуле. А дальше уж и над Шредингером думать. Или Шредингер с энергией проще решать?

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 21:08 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #875750 писал(а):
Шрёдингер в кулоновском потенциале решается точно.

Это в тридэшечке. А здесь 1D.

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение15.06.2014, 23:03 
Аватара пользователя
Чёрт, ведь да.
(Мне было на момент показалось, что для s-орбитали это несущественно. Ага, как же.)

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение16.06.2014, 06:40 
laptop в сообщении #875760 писал(а):
А далее видимо нужно воспользоваться условием существования решения в $L_{2}$ и как-то оборвать ряд. Но вот как, я не знаю
А почему? $L_2$ - это многочлены что-ли?

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение16.06.2014, 07:40 
Sonic86
Это функции, для которых (в данном случае) $\[\int\limits_0^\infty  {{{\left| \psi  \right|}^2}dx}  < \infty \]$

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение16.06.2014, 07:58 
Ms-dos4, спасибо, понял.
Но зачем обрывать тогда ряд, мне непонятно :-(

 
 
 
 Re: линейное диф уравнение
Сообщение16.06.2014, 09:11 
Аватара пользователя
Не оборвать, а найти условия, при которых он сам обрывается. По аналогии с известными точными решениями. Только сначала надо вынести асимптотику на бесконечности, а то не сойдётся ничего.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group