Построить множество на плоскости, образ множества

[Anarchist_42]

Всем здравствуйте! Интересует решение ряда задач:

1. Построить множество на плоскости, определяемое условием $\operatorname{Re}(z(1-i))\le\sqrt{2}$.
Мое решение:
$\operatorname{Re}(z(1-i))\le\sqrt{2}$
$\operatorname{Re}(x-ix+iy+y)\le\sqrt{2}$
Строим множество: $x+y\le\sqrt{2}$. Т.е. строим прямую $y=\sqrt{2}-x$, все что ниже её - является решением.

2. Построить образ множества $G$ при заданном отображение $f(z)$.
$G=\{ z|\operatorname{Im}z\geqslant-1 \}$ , $f(z)=z^2$
Начало моего решения:
$z^2=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2$
$\operatorname{Re}z=x^2-y^2$ , $\operatorname{Im}z=2xy$
$y\geqslant-1$
Могли бы вы подсказать, что делать дальше?

3. Построить образ множества $G$ при заданном отображение $f(z)$.
$G=\{ z|\operatorname{Re}z<0 , |z|\ge1 \}$, $f(z)=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$
Мое решение:
$f(z)=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})=\frac{1}{2}(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})=\frac{1}{2}(\cos\varphi +i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi)=\cos\varphi=1$
Строим $x^2=1$ при условии $x<0$, получится прямая ,лежащая на ОХ, $x\in[-1,0]$

4. Построить образ множества $G$ при заданном отображение $f(z)$.
$G=\{ z|\operatorname{Re}z>1 , 0<\operatorname{Im}z<2\pi \}$, $f(z)=e^z$
Мое решение:
$e^z=e^x(\cosy+i\siny)=e^{\operatorname{Re}z} e^{i\operatorname{Im}z}$
Т.е. строим окружность радиусом 1, все что за ней - является решением.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
1. Уберите картинку с формулами. Допускается иллюстрация для образов/прообразов.

2. Запишите все формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

3. Приведите свои попытки решения и укажите затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Null]

2. Для начала посмотрите куда переходит $G_1=\{ z|\operatorname{Im}z=-1 \}$

[Anarchist_42]

Хм, представляем $\operatorname{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}\ge-1$. Далее выражаем $z=\sqrt{w}$ и подставляем в 1-ое выражение, получаем $\frac{\sqrt{w}-\sqrt{\bar{w}}}{2i}=-1$. Дальше надо как-то преобразовать, что бы $i$ исчезла, но я не понял как это сделать.

[Aritaborian]

Давайте возведём последнее выражение в квадрат.

[provincialka]

А можно проще. Пусть $z^2=u+iv$. Из системы $u=x^2-1, v=-2x$ можно исключить $x$.

[Anarchist_42]

Ну да, возводим в квадрат: $\frac{w-2\sqrt{w\bar{w}}+\bar{w}}{-4}=1$
$(w+\bar{w})-2\sqrt{w\bar{w}}=-4$
$2x-2\sqrt{x^2+y^2}=-4$
Строим, получается какая-то гипербола в 1 и 4-ой областях. Все что заключено между её линиями - ответ.
Правильно?
И правильно ли решены остальные задания?