Здравствуйте, подскажите про элементарную математику.

[Stan Slapenarski]

Поскольку я problem solver, и, смотря на математику со своей колокольни, считаю, что работа чистых математиков состоит том, что вони ставят проблемы и решают их (а также занимаются обобщениями), то мне льстит Ваше мнение. Но, все же, мне как-то не верится, что базовым математическим опытом является опыт решения задач. Я думаю, что это специфический математический опыт, и, если он и базовый, то, во всяком случае, не единственный. Я думаю, что базовым математическим опытом является знакомство со свойствами и взаимосвязями математических объектов. Когда вы понимаете их, то, порой, вы можете просто «видеть» решение или как к нему прийти. Это может так и чувствоваться, как видение, очевидность. Т.е. я тоже думаю, что понимание формируется математическим опытом, но я не думаю, что это обязательно опыт решения задач.

-- 14.06.2014, 04:14 --

Цитата:

Я думаю, что базовым математическим опытом является знакомство со свойствами и взаимосвязями математических объектов.

Мне кажется, что описываемые Вами проблемы могут быть признаком того, что Ваше знакомство недостаточно хорошо. Что такое действительно хорошее знакомство?

«Харди позднее вспоминал, как он навестил в больнице Рамануджана и сказал, что он приехал на такси со «скучным» номером 1729. Рамануджан разволновался и воскликнул: «Харди, ну как же, Харди, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!» ($1729 =1^3+12^3=9^3+10^3$). В книге Харди о творчестве Рамануджана метко сказано, что «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана»».

[Munin]

Stan Slapenarski
Я в последнее время кручусь вокруг понятия "полноты" математического объекта или системы, которое представляется мне таким образом: мы мысленно представляем себе объект в таких подробностях, что можем решить для него любую задачу, или по крайней мере вообразить её смысл и существование решения (даже если практически достичь решения почему-то не можем - сил не хватает). Буквально "расписываем его до кирпичика".

Например, если мы имеем некую функцию, то мы можем представить себе её график, производную, интеграл, можем представить себе, как тот же самый график можно описать неявной функцией, можем представить замены переменных в функции, и т. п.

Противостоит этому понятию "полноты" некоторое "туманное" представление о математическом объекте, когда мы понимаем не все его свойства и грани, или когда имеем дело с объектом реальности, который не полностью описали математическим объектом.

Здесь мне трудно привести простой пример, поскольку простые примеры - давно уже изучены наукой до состояния "полноты". Примеры, которые можно было бы привести, - с переднего края науки. Либо, надо представить себе состояние учёного прошлого, или студента, который пока только знакомится с теориями физики и математики. Ну, например, состояние математики до открытия производных и интегралов, или состояние механики до открытия системы законов Ньютона. Здесь есть некое "предчувствие чего-то полного", но из тумана выплывают только отдельные грани этого слона.

К чему это я? Не знаете, как всё это толком называется и формулируется?

[Stan Slapenarski]

Munin

Мне кажется, что ближе всего здесь логическое понимание полноты, когда для любого осмысленного утверждения можно доказать (в логике это значит дедуктивно вывести из аксиом по заданным правилам) либо его, либо его отрицание.

Ближе к Вашему контексту можно говорить о получении структурных результатов исходя из аксиоматически заданных (возможно, туманно и неполно, как, например, у Евклида) свойств, которые, хоть и (однозначно) определяют объект, но не описывают его полностью.

Например, исходя из задания группы Ли как локально евклидовой топологической группы, можно далее выводить ее глубокие структурные свойства, например, решение части пятой проблемы Гильберта: насколько я понимаю, любая локально евклидова топологическая группа допускает такую дифференциальную структуру, что групповое умножение становится дифференцируемым. Более простые примеры – структурная теорема о конечнопорожденных абелевых группах или классификационная теорема компактных двумерных поверхностей. Или еще гипотеза Пуанкаре, недавно дорешенная Перельманом. Также вроде решенная проблема классификации конечных простых групп.

Еще, как правило, «полным» результатам предшествуют аксиоматизация и формализация.

[Munin]

Stan Slapenarski

Stan Slapenarski в сообщении #875297 писал(а):

Мне кажется, что ближе всего здесь логическое понимание полноты, когда для любого осмысленного утверждения можно доказать (в логике это значит дедуктивно вывести из аксиом по заданным правилам) либо его, либо его отрицание.

Ну, теорему Гёделя все мы уважаем...

Вот однозначное определение объекта - это теплее, мне кажется.

Спасибо, попробую ещё покумекать.

[Stan Slapenarski]

Munin

Из философских соображений мне кажется, что теорема Геделя не должна быть необходимым препятствием. Теоретически, чтобы ее обойти, можно пытаться ослабить матаппарат теории, однако эта жертва представляется мне практически нереальной. С другой стороны, геделевские недоказуемые утверждения очень сложны, громоздки и искусственны, поэтому может иметь смысл требовать разрешимости не всех утверждений теории, а лишь ее «релевантных», «интересных», «актуальных» утверждений об объектах.

Возможно вообще, требовать полноты как полноты формальной теории это чересчур и не нужно для приложений, а нужно что-то «среднее» между теорией и моделью. Плюс теории – эффективная аксиоматизированность, плюс модели – полнота. Но это тоже очень туманные аналогии.

[Munin]

Stan Slapenarski в сообщении #875456 писал(а):

С другой стороны, геделевские недоказуемые утверждения очень сложны, громоздки и искусственны

Ну когда как. Я видел и очень простые примеры. Правда, ни черта не вспомню.

[Stan Slapenarski]

Мне кажется следующее. Для конкретных формальных систем формулы, иллюстрирующие их неполноту, могут быть простыми. Например, пятый постулат для абсолютной геометрии или континуум-гипотеза в ZFC. Но настоящие геделевские формулы для любой соответствующей формальной системы строятся через геделевскую нумерацию. Хотя, возможно, есть и более простые доказательства неполноты сильных формальных аксиоматических систем, чем через геделевскую нумерацию, но я о них не слышал.

[Stan Slapenarski]

Munin

Цитата:

Вот однозначное определение объекта - это теплее, мне кажется.

Спасибо, попробую ещё покумекать.

Я подозреваю, откуда растут ноги у Вашего интереса к полноте (а еще раньше отсюда).

Мне кажется, что однозначность это хорошо, но это только одна сторона интересующей Вас полноты. Вот понять бы, прояснить бы, сформулировать бы яснее, какие вопросы задаются теории и как из нее получаются ответы, четче очертить ее «природу».

Вообще говоря, в теории не всегда можно получить все ответы, что я могу проиллюстрировать теоремами о невозможности, например, Геделя о неполноте, о непостроимости квадратуры круга, о неразрешимости уравнений в радикалах, Матиясевича о неразрешимости диофантовых уравнений (если мне не изменяет память). Было бы обидно, если бы естественное «несовершенство» наших экспериментов (вроде принципа неопределенности Гейзенберга) усугублялось еще и искусственной неполнотой неудачно выбранной теории.

[Munin]

Stan Slapenarski в сообщении #875601 писал(а):

Я подозреваю, откуда растут ноги у Вашего интереса к полноте (а еще раньше отсюда).

Нет, мимо. Всё гораздо приземлённее. Речь о словосочетаниях "замкнутая система уравнений", "существование и единственность решения", и тому подобных. И о том, как бы это объяснить примерно семиклассникам.

[Aritaborian]

Простите, что встреваю.

Stan Slapenarski в сообщении #875601 писал(а):

Вообще говоря, в теории не всегда можно получить все ответы, что я могу проиллюстрировать теоремами о невозможности, например, Геделя о неполноте, о непостроимости квадратуры круга, о неразрешимости уравнений в радикалах, Матиясевича о неразрешимости диофантовых уравнений (если мне не изменяет память).

Ну почему же. Это — тоже ответы. Такие же полноценные ответы, какими были бы описание способа построения квадратуры круга, нахождения корней уравнения пятой степени в радикалах etc.