Браток мнимой единицы.

[21begun]

Прочитал историю комплексных чисел и увидел, что в них была необходимость, дабы нужно было решить уравнение вида $x^2=-1$. Потом я вспомнил уравнение вида $\frac n0=x$ ( где n - любое число). Мы всегда бросаем решение такого уравнение, так как нет такого числа при котором ${x 0}=n$. Ну вот и вопрос. Почему нет такого числа $x$ в математике, ведь оно тоже бы пригодилось?

[ratay]

Ну, нестандартный анализ рассматривает бесконечность как актуальную, существующую наравне с привычными числами. Здесь что-то похожее.

[Munin]

21begun в сообщении #875274 писал(а):

Прочитал историю комплексных чисел и увидел, что в них была необходимость, дабы нужно было решить уравнение вида $x^2=-1$.

Как раз в истории комплексных чисел так не написано.

Всем было очевидно, что уравнение $x^2=-1$ не имеет решений. Комплексные числа нужны были для другого - чтобы решать кубические уравнения, например, уравнение $x^3-x=0.$ Было ясно, что такие уравнения имеют решения, но вот путь к этим решениям проходил через "невозможные числа" (формула Кардано - там вообще увлекательная история, на открытие формулы Кардано претендовали два конкурента, Кардано и Тарталья, а на кону был денежный приз, а приоритет открытий закреплялся публикацией открытия, зашифрованного в анаграмме).

Потом уже, через много столетий, выяснилось, что "невозможные числа" интересны и сами по себе, и решения уравнения $x^2=-1$ в "невозможных числах" существуют, и вообще обладают интересными и удобными свойствами (например, у любого полинома $n$-й степени ровно $n$ корней, с учётом кратности).

-- 14.06.2014 13:17:13 --

21begun в сообщении #875274 писал(а):

Потом я вспомнил уравнение вида $\frac n0=x$ ( где n - любое число). Мы всегда бросаем решение такого уравнение, так как нет такого числа при котором ${x 0}=n$. Ну вот и вопрос. Почему нет такого числа $x$ в математике, ведь оно тоже бы пригодилось?

В разных разделах математики есть такие числа, и они пригождаются. Но они возникают в разных случаях по-разному, и это разные числа. В отличие от однозначно возникающих целых, натуральных, рациональных чисел (с вещественными уже другая история: бывают $p$-адические числа, как "альтернативный вариант вещественных"; но стандартные вещественные всё-таки практически общеприняты).

Например, есть теория пределов, которая позволяет рассмотреть "числа" $\pm\infty,$ и (иногда отдельно, иногда вместе с ними) просто $\infty.$ Есть даже понятие "расширенная числовая прямая", когда к "концам" числовой прямой добавляются точки $\pm\infty.$ Но эти "числа" остаются в кавычках, потому что для них нельзя полностью определить все алгебраические операции обычных чисел.

Есть проективная геометрия, в которой бесконечные точки возникают по каждому направлению. Например, на прямой добавляется ещё одна точка $\infty$ (проективная прямая), на плоскости - бесконечно удалённая прямая из точек, добавленных к каждой обычной прямой, (проективная плоскость), и так далее.

Есть теория комплексной переменной, где удобро рассмотреть "расширенную комплексную плоскость", к которой добавлена одна бесконечно удалённая точка $\infty.$ Но полных прав комплексного числа она не получает, так же как и действительные бесконечности.

Есть теория нестандартного анализа, где вводится сразу бесконечно много бесконечно больших чисел, но ratay вводит вас в заблуждение: уравнение $\frac{n}{0}=x$ там всё равно не имеет решений, а решения имеет только похожее уравнение $\frac{n}{\varepsilon}=x,$ где $\varepsilon$ - так называемое "бесконечно малое число" (это слово используется в нестандартном анализе не в том же смысле, что в обычном анализе).

[21begun]

Munin в сообщении #875279 писал(а):

Но ratay вводит вас в заблуждение: уравнение $\frac{n}{0}=x$ там всё равно не имеет решений.

Но ведь, допустим, можно создать число-функцию, т.е. "значение" числа будет зависеть от какого-нибудь другого параметра. Всё тоже деление на ноль. "Значение" какого-нибудь невозможного числа будет зависеть от того числа, которое делится на ноль. В итоге перемножив невозможное число на ноль, получим обычное вещественное число.

(Слово значение внёс в кавычки, потому-что сам не понимаю что может означать. Но сама идея, по-моему, привлекательна)

[Munin]

21begun в сообщении #875296 писал(а):

Но ведь, допустим, можно создать число-функцию, т.е. "значение" числа будет зависеть от какого-нибудь другого параметра.

Да. Это всё есть в теории пределов - это часть математического анализа.

Рассмотрим правило, по которому каждому целому числу $k\in\mathbb{N}$ сопоставлено действительное число. Это правило называется функция, назовём её $a.$ Это записывается: $a\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}.$ Поскольку исходим из целых чисел, такая функция называется ещё последовательность. Отдельные члены этой последовательности записываются $a(k)$ или $a_k,$ а вся последовательность в целом - может обозначаться $a(k),a_k,(a_k),a$ - когда обозначения совпадают, то стараются писать так, чтобы не было путаницы. Можете считать, что это как раз значение, которое зависит от параметра $k.$

Посмотрим на эту последовательность как на процесс. Пусть мы "шагаем" по числовой прямой, на шагу $k$ встаём в точку $a_k$ (или можете представлять себе, что в этой точке вспыхивает лампочка). Последовательности бывают разные. Но некоторые из них обладают важным свойством: они постепенно "гуляют" всё ближе и ближе к одной какой-то точке, как будто "стремятся в неё попасть", но иногда промахиваются. Но промахиваются всё меньше и меньше. Примеры таких последовательностей вы знаете: это конечные десятичные дроби:
$0$
$3$
$3{,}1$
$3{,}14$
$3{,}141$
$3{,}1415$
$3{,}14159$
$3{,}141592$
$3{,}1415926$
и так далее. Такую последовательность вы называете "бесконечная десятичная дробь".

Такие последовательности называют имеющими предел, и записывают $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=A.$ Здесь $A$ - это как раз та "конечная точка", к которой стремится последовательность (здесь "стремится" - это полноценный математический термин). Ещё вариант записи: $a_k\xrightarrow{k\to\infty}A.$

Аналогично, бывают функции, которые сопоставляют действительному числу действительное число. Такие функции часто можно нарисовать графиком - линией, где по горизонтали отложено исходное число, а по вертикали - то, которое получается. $a\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ может записываться как $a(x),a,$ а значение функции для конкретного исходного числа - $a(x).$

(Вообще, понятие функции существует для любых двух множеств, из которых выбираются входное значение и результат: $X\to Y.$ Только множество $Y$ не может быть пустым, если не пусто множество $X$ - по понятным причинам. Ещё функцию называют отображением.)

Так вот, если последовательность "шагала" по числовой прямой, то непрерывная функция как будто "едет". И для неё можно рассмотреть, куда она "приедет": $\lim\limits_{x\to X}a(x)=A,$ вариант записи $a(x)\xrightarrow{x\to X}A.$ Это значит, что когда мы по горизонтали "приедем" в точку $X,$ то график по вертикали "приедет" в точку $A.$

Всё это я рассказываю к тому, что пределы бывают "обычные" - когда последовательность или функция стремится к какому-то числу. А ещё бывают пределы бесконечные - когда последовательность или функция стремится прочь, во всё бо́льшие и бо́льшие числа, и убегает так, что её не догнать. (Или в отрицательную сторону - во всё меньшие и меньшие числа.) Тогда записывают $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=\pm\infty.$

И для пределов работает (в некотором осторожном и ограниченном смысле) такая же арифметика, как для чисел. Но с бесконечностями. Осторожность здесь вот в каком смысле: понятно, что $\tfrac{A}{0}=\infty,$ если $A\ne 0.$ Но если вдруг $\tfrac{0}{0},$ то может случиться по-разному. Может оказаться, что получится какое-то конкретное число - ненулевое. Может оказаться, что результат нуль. Может оказаться, что результат бесконечность. И может оказаться, что предела вообще не существует. Ведь мы же помним, что не все последовательности стремятся к какому-то конкретному месту (говорят, сходятся). И поэтому, когда мы встречаемся с $\tfrac{0}{0},$ мы должны вернуться к нашим зависимостям от параметров, и изучать их подробнее - это называется неопределённость, и раскрытие неопределённости.

[ratay]

Если мы изначально определяем, что уравнение $n/0=x$ не имеет решения, что же мы потом ломаем голову, почему это так. Я и не говорил, что в нестандартном анализе используется деление на ноль. А бесконечно малое рассматривают как самостоятельное, отличное и от 0, и от обычных чисел. Но некоторые аналогии найти можно, если автору темы интересно - пусть покопается, может, найдет что-нибудь для себя.

[Munin]

ratay
Если научился болтать языком на философии - это не даёт права болтать языком на математические темы.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #875279 писал(а):

Есть теория нестандартного анализа, где вводится сразу бесконечно много бесконечно больших чисел, но ratay вводит вас в заблуждение: уравнение $\frac{n}{0}=x$ там всё равно не имеет решений, а решения имеет только похожее уравнение $\frac{n}{\varepsilon}=x,$ где $\varepsilon$ - так называемое "бесконечно малое число" (это слово используется в нестандартном анализе не в том же смысле, что в обычном анализе).

Но бесконечно малая в обычном анализе, т.е. последовательность, сходящаяся к нулю, является представителем бесконечно малой в нестандартном анализе, где за числа берутся последовательности обычных чисел по модулю совпадения на нетривиальном ультрафильтре в множестве натуральных чисел. Т.е. бесконечно малая в обычном анализе является конкретным представлением бесконечно малой в нестандартном анализе. Ненулевые бесконечно малые в нестандартном анализе представляются последовательностями ненулевых чисел, которые сходятся к нулю. Факторизация по модулю совпадения на ультрафильтре нужна лишь для того, чтоб избавиться от делителей нуля в кольце последовательностей обычных чисел. Посмотрите мою заметку http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_ ... nstruction

[Munin]

mishafromusa в сообщении #875335 писал(а):

Но бесконечно малая в обычном анализе, т.е. последовательность, сходящаяся к нулю

не является числом.

На этом можно остановиться.

Предел бесконечно малой последовательности обозначается $0,$ а не $\varepsilon.$ Делить на этот предел как на число - по-прежнему нельзя. И вообще, я не хотел бы ТС запутывать.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #875349 писал(а):

mishafromusa в сообщении #875335 писал(а):

Но бесконечно малая в обычном анализе, т.е. последовательность, сходящаяся к нулю

не является числом.

На этом можно остановиться.

Только если не хочешь разобраться в чём дело. Я не говорил, что это число в обычном анализе. Но их можно трактовать как числа и в обычном анализе, только вот делители нуля вылезают, но это не беда. Притом другие участники разговора запутались и без меня, и я хотел их распутать.

-- 14.06.2014, 09:06 --

mishafromusa в сообщении #875356 писал(а):

Предел бесконечно малой последовательности обозначается $0,$ а не $\varepsilon.$

Я говорил про саму последовательность, а не про её предел, такие последовательности (или функции) часто называют бесконечно малыми. И в физике тоже часто говорят, что $x$ около нуля -- бесконечно малая первого порядка, а $x^2$ -- второго, итд.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #875356 писал(а):

Только если не хочешь разобраться в чём дело.

Смотря в чём разбираться. В обычном анализе - нафиг не надо. А нестандартный лучше всё-таки отложить до того момента, когда будет понят обычный (и даже ещё подольше).

mishafromusa в сообщении #875356 писал(а):

Я говорил про саму последовательность, а не про её предел

А я именно про предел. Хорошо, что вы это подчеркнули, потому что это как раз важное место, чтобы не запутаться.

А вот все остальные слова - излишни. Посмотрите, кто перед вами, и не "грузите", а то "перегрузите".

[Someone]

Всё, что здесь написали, конечно, интересно, но никакого отношения к вопросу о делении на ноль не имеет. Это чисто алгебраический вопрос. В частности, в нестандартном анализе, несмотря на наличие "бесконечно больших" и "бесконечно малых" чисел, деление на ноль невозможно точно так же, как в обычной арифметике. Всякие "бесконечные элементы", добавляемые для нужд теории пределов, числами не являются, арифметические операции с ними можно "естественно" определить только частично, и обычные свойства арифметических операций нарушаются.
На самом деле ситуация такая: если позарез хочется делить на ноль — определяйте частное как хотите и делите себе на здоровье. Но при этом разрушатся обычные свойства арифметических операций, то есть, Вы не сможете делать вычисления и преобразовывать алгебраические выражения по обычным правилам. Уж выбирайте, что Вам дороже: хорошие свойства арифметических операций, которые за много веков доказали свою полезность, или деление на ноль, полезность которого сомнительна.
Аксиомы кольца и их простые следствия: http://dxdy.ru/post243117.html#p243117.

[Alex_J]

Как всегда, умники заклевали молодого зеленого автора. )

У человека есть интерес, умейте уважать и беречь его.

А автору предлагаю изучить ТФКП, а для упражнения посмотреть, как можно спроецировать числовую прямую, например, на окружность, касающуюся прямой в начале координат. Тогда $\infty$ (и $\pm\infty$ !) проецируется прямо на верхнюю точку окружности. И вот вам способ пощупать бесконечность как точку, так сказать. В комплексном случае сфера кладется на плоскость, и бесконечность имеет уже не два знака, а целую "окружность", спроецированную опять же в точку на сфере.

И тогда деление на ноль может быть представится как-то понятнее. По крайней мере, будете получать конкретный результат. Но там же станет и понятно, почему получение конкретного числа при обратном действии весьма затруднительно, ну, точнее, невозможно, но предлагаю убедиться в этом самостоятельно.

И это без залезания в "особые" теории.