2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 11:43 
Аватара пользователя


03/04/14
32
Прочитал историю комплексных чисел и увидел, что в них была необходимость, дабы нужно было решить уравнение вида $x^2=-1$. Потом я вспомнил уравнение вида $\frac n0=x$ ( где n - любое число). Мы всегда бросаем решение такого уравнение, так как нет такого числа при котором ${x 0}=n$. Ну вот и вопрос. Почему нет такого числа $x$ в математике, ведь оно тоже бы пригодилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 11:59 


21/08/13

784
Ну, нестандартный анализ рассматривает бесконечность как актуальную, существующую наравне с привычными числами. Здесь что-то похожее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
21begun в сообщении #875274 писал(а):
Прочитал историю комплексных чисел и увидел, что в них была необходимость, дабы нужно было решить уравнение вида $x^2=-1$.

Как раз в истории комплексных чисел так не написано.

Всем было очевидно, что уравнение $x^2=-1$ не имеет решений. Комплексные числа нужны были для другого - чтобы решать кубические уравнения, например, уравнение $x^3-x=0.$ Было ясно, что такие уравнения имеют решения, но вот путь к этим решениям проходил через "невозможные числа" (формула Кардано - там вообще увлекательная история, на открытие формулы Кардано претендовали два конкурента, Кардано и Тарталья, а на кону был денежный приз, а приоритет открытий закреплялся публикацией открытия, зашифрованного в анаграмме).

Потом уже, через много столетий, выяснилось, что "невозможные числа" интересны и сами по себе, и решения уравнения $x^2=-1$ в "невозможных числах" существуют, и вообще обладают интересными и удобными свойствами (например, у любого полинома $n$-й степени ровно $n$ корней, с учётом кратности).

-- 14.06.2014 13:17:13 --

21begun в сообщении #875274 писал(а):
Потом я вспомнил уравнение вида $\frac n0=x$ ( где n - любое число). Мы всегда бросаем решение такого уравнение, так как нет такого числа при котором ${x 0}=n$. Ну вот и вопрос. Почему нет такого числа $x$ в математике, ведь оно тоже бы пригодилось?

В разных разделах математики есть такие числа, и они пригождаются. Но они возникают в разных случаях по-разному, и это разные числа. В отличие от однозначно возникающих целых, натуральных, рациональных чисел (с вещественными уже другая история: бывают $p$-адические числа, как "альтернативный вариант вещественных"; но стандартные вещественные всё-таки практически общеприняты).

Например, есть теория пределов, которая позволяет рассмотреть "числа" $\pm\infty,$ и (иногда отдельно, иногда вместе с ними) просто $\infty.$ Есть даже понятие "расширенная числовая прямая", когда к "концам" числовой прямой добавляются точки $\pm\infty.$ Но эти "числа" остаются в кавычках, потому что для них нельзя полностью определить все алгебраические операции обычных чисел.

Есть проективная геометрия, в которой бесконечные точки возникают по каждому направлению. Например, на прямой добавляется ещё одна точка $\infty$ (проективная прямая), на плоскости - бесконечно удалённая прямая из точек, добавленных к каждой обычной прямой, (проективная плоскость), и так далее.

Есть теория комплексной переменной, где удобро рассмотреть "расширенную комплексную плоскость", к которой добавлена одна бесконечно удалённая точка $\infty.$ Но полных прав комплексного числа она не получает, так же как и действительные бесконечности.

Есть теория нестандартного анализа, где вводится сразу бесконечно много бесконечно больших чисел, но ratay вводит вас в заблуждение: уравнение $\frac{n}{0}=x$ там всё равно не имеет решений, а решения имеет только похожее уравнение $\frac{n}{\varepsilon}=x,$ где $\varepsilon$ - так называемое "бесконечно малое число" (это слово используется в нестандартном анализе не в том же смысле, что в обычном анализе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 12:59 
Аватара пользователя


03/04/14
32
Munin в сообщении #875279 писал(а):

Но ratay вводит вас в заблуждение: уравнение $\frac{n}{0}=x$ там всё равно не имеет решений.


Но ведь, допустим, можно создать число-функцию, т.е. "значение" числа будет зависеть от какого-нибудь другого параметра. Всё тоже деление на ноль. "Значение" какого-нибудь невозможного числа будет зависеть от того числа, которое делится на ноль. В итоге перемножив невозможное число на ноль, получим обычное вещественное число.

(Слово значение внёс в кавычки, потому-что сам не понимаю что может означать. Но сама идея, по-моему, привлекательна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
21begun в сообщении #875296 писал(а):
Но ведь, допустим, можно создать число-функцию, т.е. "значение" числа будет зависеть от какого-нибудь другого параметра.

Да. Это всё есть в теории пределов - это часть математического анализа.

Рассмотрим правило, по которому каждому целому числу $k\in\mathbb{N}$ сопоставлено действительное число. Это правило называется функция, назовём её $a.$ Это записывается: $a\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}.$ Поскольку исходим из целых чисел, такая функция называется ещё последовательность. Отдельные члены этой последовательности записываются $a(k)$ или $a_k,$ а вся последовательность в целом - может обозначаться $a(k),a_k,(a_k),a$ - когда обозначения совпадают, то стараются писать так, чтобы не было путаницы. Можете считать, что это как раз значение, которое зависит от параметра $k.$

Посмотрим на эту последовательность как на процесс. Пусть мы "шагаем" по числовой прямой, на шагу $k$ встаём в точку $a_k$ (или можете представлять себе, что в этой точке вспыхивает лампочка). Последовательности бывают разные. Но некоторые из них обладают важным свойством: они постепенно "гуляют" всё ближе и ближе к одной какой-то точке, как будто "стремятся в неё попасть", но иногда промахиваются. Но промахиваются всё меньше и меньше. Примеры таких последовательностей вы знаете: это конечные десятичные дроби:
$0$
$3$
$3{,}1$
$3{,}14$
$3{,}141$
$3{,}1415$
$3{,}14159$
$3{,}141592$
$3{,}1415926$
и так далее. Такую последовательность вы называете "бесконечная десятичная дробь".

Такие последовательности называют имеющими предел, и записывают $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=A.$ Здесь $A$ - это как раз та "конечная точка", к которой стремится последовательность (здесь "стремится" - это полноценный математический термин). Ещё вариант записи: $a_k\xrightarrow{k\to\infty}A.$

Аналогично, бывают функции, которые сопоставляют действительному числу действительное число. Такие функции часто можно нарисовать графиком - линией, где по горизонтали отложено исходное число, а по вертикали - то, которое получается. $a\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ может записываться как $a(x),a,$ а значение функции для конкретного исходного числа - $a(x).$
    (Вообще, понятие функции существует для любых двух множеств, из которых выбираются входное значение и результат: $X\to Y.$ Только множество $Y$ не может быть пустым, если не пусто множество $X$ - по понятным причинам. Ещё функцию называют отображением.)

Так вот, если последовательность "шагала" по числовой прямой, то непрерывная функция как будто "едет". И для неё можно рассмотреть, куда она "приедет": $\lim\limits_{x\to X}a(x)=A,$ вариант записи $a(x)\xrightarrow{x\to X}A.$ Это значит, что когда мы по горизонтали "приедем" в точку $X,$ то график по вертикали "приедет" в точку $A.$

Всё это я рассказываю к тому, что пределы бывают "обычные" - когда последовательность или функция стремится к какому-то числу. А ещё бывают пределы бесконечные - когда последовательность или функция стремится прочь, во всё бо́льшие и бо́льшие числа, и убегает так, что её не догнать. (Или в отрицательную сторону - во всё меньшие и меньшие числа.) Тогда записывают $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=\pm\infty.$

И для пределов работает (в некотором осторожном и ограниченном смысле) такая же арифметика, как для чисел. Но с бесконечностями. Осторожность здесь вот в каком смысле: понятно, что $\tfrac{A}{0}=\infty,$ если $A\ne 0.$ Но если вдруг $\tfrac{0}{0},$ то может случиться по-разному. Может оказаться, что получится какое-то конкретное число - ненулевое. Может оказаться, что результат нуль. Может оказаться, что результат бесконечность. И может оказаться, что предела вообще не существует. Ведь мы же помним, что не все последовательности стремятся к какому-то конкретному месту (говорят, сходятся). И поэтому, когда мы встречаемся с $\tfrac{0}{0},$ мы должны вернуться к нашим зависимостям от параметров, и изучать их подробнее - это называется неопределённость, и раскрытие неопределённости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 13:47 


21/08/13

784
Если мы изначально определяем, что уравнение $n/0=x$ не имеет решения, что же мы потом ломаем голову, почему это так. Я и не говорил, что в нестандартном анализе используется деление на ноль. А бесконечно малое рассматривают как самостоятельное, отличное и от 0, и от обычных чисел. Но некоторые аналогии найти можно, если автору темы интересно - пусть покопается, может, найдет что-нибудь для себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ratay
Если научился болтать языком на философии - это не даёт права болтать языком на математические темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 15:10 


12/02/14
808
Munin в сообщении #875279 писал(а):
Есть теория нестандартного анализа, где вводится сразу бесконечно много бесконечно больших чисел, но ratay вводит вас в заблуждение: уравнение $\frac{n}{0}=x$ там всё равно не имеет решений, а решения имеет только похожее уравнение $\frac{n}{\varepsilon}=x,$ где $\varepsilon$ - так называемое "бесконечно малое число" (это слово используется в нестандартном анализе не в том же смысле, что в обычном анализе).
Но бесконечно малая в обычном анализе, т.е. последовательность, сходящаяся к нулю, является представителем бесконечно малой в нестандартном анализе, где за числа берутся последовательности обычных чисел по модулю совпадения на нетривиальном ультрафильтре в множестве натуральных чисел. Т.е. бесконечно малая в обычном анализе является конкретным представлением бесконечно малой в нестандартном анализе. Ненулевые бесконечно малые в нестандартном анализе представляются последовательностями ненулевых чисел, которые сходятся к нулю. Факторизация по модулю совпадения на ультрафильтре нужна лишь для того, чтоб избавиться от делителей нуля в кольце последовательностей обычных чисел. Посмотрите мою заметку http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_ ... nstruction

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mishafromusa в сообщении #875335 писал(а):
Но бесконечно малая в обычном анализе, т.е. последовательность, сходящаяся к нулю

не является числом.

На этом можно остановиться.

Предел бесконечно малой последовательности обозначается $0,$ а не $\varepsilon.$ Делить на этот предел как на число - по-прежнему нельзя. И вообще, я не хотел бы ТС запутывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 15:51 


12/02/14
808
Munin в сообщении #875349 писал(а):
mishafromusa в сообщении #875335 писал(а):
Но бесконечно малая в обычном анализе, т.е. последовательность, сходящаяся к нулю

не является числом.

На этом можно остановиться.
Только если не хочешь разобраться в чём дело. Я не говорил, что это число в обычном анализе. Но их можно трактовать как числа и в обычном анализе, только вот делители нуля вылезают, но это не беда. Притом другие участники разговора запутались и без меня, и я хотел их распутать.

-- 14.06.2014, 09:06 --

mishafromusa в сообщении #875356 писал(а):
Предел бесконечно малой последовательности обозначается $0,$ а не $\varepsilon.$
Я говорил про саму последовательность, а не про её предел, такие последовательности (или функции) часто называют бесконечно малыми. И в физике тоже часто говорят, что $x$ около нуля -- бесконечно малая первого порядка, а $x^2$ -- второго, итд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mishafromusa в сообщении #875356 писал(а):
Только если не хочешь разобраться в чём дело.

Смотря в чём разбираться. В обычном анализе - нафиг не надо. А нестандартный лучше всё-таки отложить до того момента, когда будет понят обычный (и даже ещё подольше).

mishafromusa в сообщении #875356 писал(а):
Я говорил про саму последовательность, а не про её предел

А я именно про предел. Хорошо, что вы это подчеркнули, потому что это как раз важное место, чтобы не запутаться.

А вот все остальные слова - излишни. Посмотрите, кто перед вами, и не "грузите", а то "перегрузите".

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение14.06.2014, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Всё, что здесь написали, конечно, интересно, но никакого отношения к вопросу о делении на ноль не имеет. Это чисто алгебраический вопрос. В частности, в нестандартном анализе, несмотря на наличие "бесконечно больших" и "бесконечно малых" чисел, деление на ноль невозможно точно так же, как в обычной арифметике. Всякие "бесконечные элементы", добавляемые для нужд теории пределов, числами не являются, арифметические операции с ними можно "естественно" определить только частично, и обычные свойства арифметических операций нарушаются.
На самом деле ситуация такая: если позарез хочется делить на ноль — определяйте частное как хотите и делите себе на здоровье. Но при этом разрушатся обычные свойства арифметических операций, то есть, Вы не сможете делать вычисления и преобразовывать алгебраические выражения по обычным правилам. Уж выбирайте, что Вам дороже: хорошие свойства арифметических операций, которые за много веков доказали свою полезность, или деление на ноль, полезность которого сомнительна.
Аксиомы кольца и их простые следствия: http://dxdy.ru/post243117.html#p243117.

 Профиль  
                  
 
 Re: Браток мнимой единицы.
Сообщение16.06.2014, 23:04 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Как всегда, умники заклевали молодого зеленого автора. )

У человека есть интерес, умейте уважать и беречь его.

А автору предлагаю изучить ТФКП, а для упражнения посмотреть, как можно спроецировать числовую прямую, например, на окружность, касающуюся прямой в начале координат. Тогда $\infty$$\pm\infty$ !) проецируется прямо на верхнюю точку окружности. И вот вам способ пощупать бесконечность как точку, так сказать. В комплексном случае сфера кладется на плоскость, и бесконечность имеет уже не два знака, а целую "окружность", спроецированную опять же в точку на сфере.

И тогда деление на ноль может быть представится как-то понятнее. По крайней мере, будете получать конкретный результат. Но там же станет и понятно, почему получение конкретного числа при обратном действии весьма затруднительно, ну, точнее, невозможно, но предлагаю убедиться в этом самостоятельно.

И это без залезания в "особые" теории.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group