2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 00:16 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Изображение Имеется вот такая колебательная система. Собственно найти период. У меня тут определенные проблемы.. Я не могу написать правильно выражение для результирующей силы, линейно зависящей от координаты. Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 00:38 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Если имеются ввиду малые колебания, то лагранжиан очень просто записать $\[L = \frac{{m{l^2}{{\dot \varphi }^2}}}{2} - \frac{{mgl{\varphi ^2}}}{2} - \frac{{k{l^2}{\varphi ^2}}}{2}\]$

Отсюда уже легко пишутся уравнения движения $\[\ddot \varphi  + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})\varphi  = 0\]$.
Далее просто $\[\frac{g}{l} + \frac{k}{m} = {\omega ^2}\]$. Ну период думаю сами найдёте.

P.S.Я уже спать хочу, мог наврать

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 00:41 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #875194 писал(а):
Если имеются ввиду малые колебания, то лагранжиан очень просто записать $\[L = \frac{{m{l^2}{{\dot \varphi }^2}}}{2} - \frac{{mgl{\varphi ^2}}}{2} - \frac{{k{l^2}{\varphi ^2}}}{2}\]$

Отсюда уже легко пишутся уравнения движения $\[\ddot \varphi  + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})\varphi  = 0\]$.
Далее просто $\[\frac{g}{l} + \frac{k}{m} = {\omega ^2}\]$. Ну период думаю сами найдёте.

P.S.Я уже спать хочу, мог наврать

Имеются в виду малые колебания.. А что такое лагранжиан? Где про это почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Про лагранжиан - в учебнике "Теоретическая механика" (например, Ландау-Лифшиц "Теоретическая физика. Т. 1 Механика").

Но вы можете обойтись и без этого формализма. На грузик действуют две отдельные силы: со стороны подвеса маятника, и со стороны пружины. Вас интересуют их проекции на горизонтальную ось. А во 2 закон Ньютона входит равнодействующая сил, то есть попросту, их сумма.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 00:53 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #875197 писал(а):
На грузик действуют две отдельные силы: со стороны подвеса маятника, и со стороны пружины. Вас интересуют их проекции на горизонтальную ось. А во 2 закон Ньютона входит равнодействующая сил, то есть попросту, их сумма.

но у меня проекция силы тяжести на горизонтальную ось получается равной нулю..

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 00:55 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Так маятник надо рассматривать в "общем положении"(т.е. отклонённый), а не в положении равновесия

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 00:56 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #875202 писал(а):
fronnya
Так маятник надо рассматривать в "общем положении"(т.е. отклонённый), а не в положении равновесия

так жеж сила тяжести всегда направлена вертикально вниз и на горизонтальную ось её проекция равна нулю.. я не понимаю.

-- 14.06.2014, 00:02 --

Munin в сообщении #875197 писал(а):
Про лагранжиан - в учебнике "Теоретическая механика" (например, Ландау-Лифшиц "Теоретическая физика. Т. 1 Механика").


Мне бы поподробнее про него..

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:03 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Вам нужна тангенциальная (касательная) составляющая.
P.S.ЛЛ-1 это не подробно? Ну Голдстейна возьмите, хотя это так, на любителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:13 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
[quote="Ms-dos4 в сообщении #875206"]Вам нужна тангенциальная (касательная) составляющая.
/quote]
это то, что направлено вдоль нити? $mg\sin \varphi$ тогда все выходит так же, как Вы записали с лагранжианом

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fronnya в сообщении #875201 писал(а):
но у меня проекция силы тяжести на горизонтальную ось получается равной нулю..

А я и не говорил брать силу тяжести. Я говорил брать силу со стороны подвеса. Она-то направлена вдоль подвеса, и в отклонённом состоянии - не вертикально. И её проекция на горизонтальную ось не будет равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:23 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Это то, что перпендикулярно ей. Но да, $\[{F_\tau } =  - mg\sin \varphi \]$. Вводите координату $\[\xi \]$ (смещение) и видно, что $\[\varphi  = \frac{\xi }{l}\]$. А при малых углах $\[\sin \varphi  \approx \varphi \]$. Далее у пружины аналогично имеете силу $\[{f_\tau } =  - k\xi \]$. Уравнение движения $\[m\ddot \xi  =  - mg\frac{\xi }{l} - k\xi \]$ т.е. $\[\ddot \xi  + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})\xi  = 0\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:28 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #875217 писал(а):
fronnya
Это то, что перпендикулярно ей. Но да, $\[{F_\tau } =  - mg\sin \varphi \]$. Вводите координату $\[\xi \]$ вдоль этой касательной и видно, что $\[\varphi  = \frac{\xi }{l}\]$. А при малых углах $\[\sin \varphi  \approx \varphi \]$. Далее у пружины аналогично имеете силу $\[{f_\tau } =  - k\xi \]$. Уравнение движения $\[m\ddot \xi  =  - mg\frac{\xi }{l} - k\xi \]$ т.е. $\[\ddot \xi  + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})\xi  = 0\]$

надо было мне сразу написать, что я школьник.

-- 14.06.2014, 00:37 --

Munin в сообщении #875215 писал(а):
fronnya в сообщении #875201 писал(а):
но у меня проекция силы тяжести на горизонтальную ось получается равной нулю..

А я и не говорил брать силу тяжести. Я говорил брать силу со стороны подвеса. Она-то направлена вдоль подвеса, и в отклонённом состоянии - не вертикально. И её проекция на горизонтальную ось не будет равна нулю.

задачу-то я решил, сделал, как вы сказали, получил ответ, но меня теперь интересует другое. Можете это расписать подробно с помощью методов теоретической механики (или аналитической, я уж не знаю, как правильно её величать) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:41 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Что вам конкретно нужно? Решение методом термеха это и есть "через лагранжиан".

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:44 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #875224 писал(а):
Что вам конкретно нужно? Решение методом термеха это и есть "через лагранжиан".

ну, я прошу подробнее это расписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебательная система.
Сообщение14.06.2014, 01:47 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
$\[L = K - U\]$

$\[K = \frac{{mv_\varphi ^2}}{2} = \frac{{m{l^2}{{\dot \varphi }^2}}}{2}\]$

$\[U = {U_1} + {U_2} = mgh + \frac{k}{2}{(\Delta x)^2} \approx \frac{{mgl{\varphi ^2}}}{2} + \frac{{k{l^2}{\varphi ^2}}}{2}\]$

$\[L = \frac{{m{l^2}{{\dot \varphi }^2}}}{2} - \frac{{mgl{\varphi ^2}}}{2} - \frac{{k{l^2}{\varphi ^2}}}{2}\]$

$\[\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \varphi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \varphi }} = 0\]$

$\[m{l^2}\ddot \varphi  + mgl\varphi  + k{l^2}\varphi  = 0\]$

$\[\ddot \varphi  + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})\varphi  = 0\]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group