колебательная система.

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #875226 писал(а):

fronnya
$\[L = K - U\]$

$\[K = \frac{{mv_\varphi ^2}}{2} = \frac{{m{l^2}{{\dot \varphi }^2}}}{2}\]$

$\[U = {U_1} + {U_2} = mgh + \frac{k}{2}{(\Delta x)^2} \approx l{\varphi ^2} + \frac{{k{l^2}{\varphi ^2}}}{2}\]$

$\[L = \frac{{m{l^2}{{\dot \varphi }^2}}}{2} - \frac{{mgl{\varphi ^2}}}{2} - \frac{{k{l^2}{\varphi ^2}}}{2}\]$

$\[\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \varphi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \varphi }} = 0\]$

$\[m{l^2}\ddot \varphi + mgl\varphi + k{l^2}\varphi = 0\]$

$\[\ddot \varphi + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})\varphi = 0\]$

спасибо! теперь буду разбираться.

[Munin]

P. S. Слово "формализм" здесь не ругательство.

Механика в целом полная математическая теория, с момента, когда Ньютон сформулировал её три закона. Но в последующие столетия (!) математики вертели её и так, и сяк, и сформулировали ещё несколько способов записать и представить эту теорию. Эти способы, в принципе, эквивалентны способу Ньютона, в том смысле, что способ Ньютона даёт полный окончательный ответ на все вопросы о механическом движении, и эти способы - дают тот же самый ответ. Но ведут к ответу они немного разными путями, в том числе иногда более простыми рассуждениями и удобными расчётами. Иногда - не более простыми.

Эти способы в прошлом назывались "аналитическая механика" (от слова "математический анализ", матанализ и механика развивались одновременно и параллельно, часто одними и теми же учёными: Эйлер, Д'Аламбер, Лагранж, Пуассон, Гамильтон), а в 20 веке с появлением теоретической физики - "теоретическая механика". Самые главные варианты, кроме варианта Ньютона ("механика Ньютона"), называются механика Лагранжа и механика Гамильтона. Из-за того, что они отличаются прежде всего способом записи, их часто называют формализм Лагранжа и формализм Гамильтона. Также часто упоминается "принцип наименьшего действия" - трудно сказать, можно ли его обсуждать отдельно, или он представляет собой единое целое с формализмом Лагранжа, или даже с формализмами и Лагранжа, и Гамильтона.

Идея в целом проста. Механика Ньютона описывает движение механической системы как систему дифференциальных уравнений

$$\begin{cases}d^2x_1/dt^2=F_{1x}(x_1,\ldots,z_n)\\\ldots\\d^2z_n/dt^2=F_{nz}(x_1,\ldots,z_n)\end{cases}$$

и её решение - множество траекторий тел в пространстве-времени. Механика Лагранжа делает то же самое, но воспринимает всю совокупность координат тел $(x_1,\ldots,z_n)$ как точку в $3n$-мерном пространстве, и позволяет в этом пространстве вводить другие координаты, описывающие систему в целом, её положение - обобщённые координаты (их традиционно называют $(q_1,\ldots,q_k)$ - количество обобщённых координат не обязательно равно $3n,$ и называется числом степеней свободы системы). Все дифференциальные уравнения (уравнения Лагранжа) получаются эквивалентны уравнениям Ньютона, но все они связаны с некоторой универсальной функцией, описывающей механическую систему - функцией Лагранжа, которая часто записывается как разность кинетической и потенциальной энергий (таким образом, она имеет размерность энергии, но энергией не является):

$$L(q_1,\ldots,q_k,dq_1/dt,\ldots,dq_k/dt)=T(dq_1/dt,\ldots,dq_k/dt)-U(q_1,\ldots,q_k)$$

$$\begin{cases}\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L(q_1,\ldots,q_k,dq_1/dt,\ldots,dq_k/dt)}{\partial(dq_1/dt)}-\dfrac{\partial L(q_1,\ldots,q_k,dq_1/dt,\ldots,dq_k/dt)}{\partial q_1}=0\\\ldots\\\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L(q_1,\ldots,q_k,dq_1/dt,\ldots,dq_k/dt)}{\partial(dq_k/dt)}-\dfrac{\partial L(q_1,\ldots,q_k,dq_1/dt,\ldots,dq_k/dt)}{\partial q_k}=0\end{cases}$$

Выглядит, может быть, страшно, но часто эти уравнения оказываются просто уравнениями Ньютона.

Недостатком такой системы уравнений можно считать то, что это дифференциальные уравнения второго порядка. Но всякое уравнение второго порядка можно переписать как систему уравнений первого порядка. Уравнений в ней будет больше, но анализировать её будет проще. Этот подход называется механикой Гамильтона. И кроме того, в нём сохраняется идея все дифференциальные уравнения получать из одной функции - из функции Гамильтона.

Наконец, функции Лагранжа и Гамильтона часто называют лагранжиан и гамильтониан.

[Ms-dos4]

fronnya
1)У меня там в потенциальной энергии очепятка (где она вычисляется, в дальнейшем она записана верно), я поправил её в посте.
2)А может вы лучше ЛЛ почитаете?

-- Сб июн 14, 2014 02:55:36 --

Munin

(Оффтоп)

Как у вас получается такие сочинения писать? И ведь отлично получается!

[Munin]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #875229 писал(а):

Как у вас получается такие сочинения писать? И ведь отлично получается!

Медленно получается! Вы тут успели обо всём поболтать, пока я писал! :-Ь

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #875229 писал(а):

fronnya
1)У меня там в потенциальной энергии очепятка (где она вычисляется, в дальнейшем она записано верно), я поправил её в посте.
2)А может вы лучше ЛЛ почитаете?

-- Сб июн 14, 2014 02:55:36 --

Munin

(Оффтоп)

Как у вас получается такие сочинения писать? И ведь отлично получается!

Почитаю ЛЛ и на днях задам вопросы по данной теме. Сейчас прям не могу прочитать, после завтра централизованное тестирование по русскому, надо ж иметь совесть (ну готовиться в смысле)

-- 14.06.2014, 01:09 --

Munin в сообщении #875228 писал(а):

Механика Лагранжа делает то же самое, но воспринимает всю совокупность координат тел $(x_1,\ldots,z_n)$ как точку в $3n$-мерном пространстве, и позволяет в этом пространстве вводить другие координаты, описывающие систему в целом, её положение - обобщённые координаты (их традиционно называют $(q_1,\ldots,q_k)$ - количество обобщённых координат не обязательно равно $3n,$ и называется числом степеней свободы системы).

вот пока мне совершенно не ясно, что такое обобщенные координаты ..

[Oleg Zubelevich]

положение палки на плоскости полностью определяется координатами ее середины и углом поворота. Вот эти три величины и есть обобщенные координаты палки на плоскости.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #875301 писал(а):

Вот эти три величины и есть обобщенные координаты палки на плоскости.

Один из вариантов выбора обобщённых координат. Обобщённые координаты тем и хороши, что их можно выбирать по-разному. Например, можно задать координаты выбранного конца палки, и угол поворота. Например, вместо угла поворота можно задать тангенс угла поворота. И так далее - вариантов бесконечно много.

[fronnya]

Munin в сообщении #875310 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #875301 писал(а):

Вот эти три величины и есть обобщенные координаты палки на плоскости.

Один из вариантов выбора обобщённых координат. Обобщённые координаты тем и хороши, что их можно выбирать по-разному. Например, можно задать координаты выбранного конца палки, и угол поворота. Например, вместо угла поворота можно задать тангенс угла поворота. И так далее - вариантов бесконечно много.

А можете привести конкретный пример с расчетом?

[Ms-dos4]

fronnya
Так я приводил пример на вашей задаче. Обобщённая координата - угол отклонения. Подробное изложение смотрите в ЛЛ или "классической механике" Голдстейна (там и разобранные задачи есть и для самостоятельного решения).

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #875398 писал(а):

fronnya
Так я приводил пример на вашей задаче. Обобщённая координата - угол отклонения. Подробное изложение смотрите в ЛЛ или "классической механике" Голдстейна (там и разобранные задачи есть и для самостоятельного решения).

ааааа, так вот что за обобщенная координата..

[Munin]

(Картинка из Савельева "Основы теоретической физики" т. 1.)

Описание этой системы в механике Ньютона:

$$\begin{cases}m\dfrac{d^2x}{dt^2\mathstrut}=R_x\\m\dfrac{d^2y}{dt^2}=mg+R_y\\R_x:R_y=x:y&\text{(условие направления \(\mathbf{R}\) вдоль нити)}\\(R_x^2+R_y^2)(x^2+y^2)=(mg)^2y^2&\text{(условие направления равнодействующей поперёк нити)}\end{cases}$$

Первые два уравнения в этой скобке - дифференциальные, а вторые два - алгебраические, нужные только для описания функций $R_x(x,y),R_y(x,y).$

Описание этой системы в механике Лагранжа начинается с выбора обобщённых координат. Все положения маятника однозначно можно задать одной величиной: углом $\varphi\colon\quad x=l\sin\varphi,\,\,y=l\cos\varphi.$ Можно записать функцию Лагранжа:

$$L=T-U=\dfrac{mv^2}{2}-(-mgy)=\dfrac{ml^2}{2}\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2+mgl\cos\varphi$$

(обратите внимание, что ось $y$ на чертеже направлена вниз, и поэтому потенциальная энергия $U=-mgy$). Можно перейти к уравнениям Лагранжа: сначала продифференцируем функцию Лагранжа по всем аргументам:

$$\dfrac{\partial L}{\partial\varphi}=-mgl\sin\varphi\qquad\dfrac{\partial L}{\partial(d\varphi/dt)}=ml^2\dfrac{d\varphi}{dt}$$

(не забывайте, здесь надо считать $d\varphi/dt$ отдельной независимой переменной), и потом выписать уравнения Лагранжа:

$$\begin{cases}\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial(d\varphi/dt)}-\dfrac{\partial L}{\partial\varphi}=ml^2\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}+mgl\sin\varphi=0\end{cases}$$

Уравнений получилось одно, потому что фактически движение одномерное. Дальше это уравнение, конечно же, не удастся решить точно, но можно сделать приближение для малых колебаний $\sin\varphi\approx\varphi,$ и уравнение решится.

Величину $\dfrac{\partial L}{\partial(d\varphi/dt)}$ называют обобщённым импульсом (часто просто импульсом), и говорят, что она канонически сопряжена своей обобщённой координате. В некоторых системах обобщённые координаты и импульсы бывают совсем не похожи на обычные механические координаты и импульсы. Даже здесь: если посмотреть на размерности, то размерность $[\varphi]=1,$ а размерность $[ml^2(d\varphi/dt)]=\mathrm{ML^2T^{-1}}$ - совсем не метры и не единицы импульса СИ. Однако всегда соблюдается свойство: произведение размерностей координаты и импульса равно $\text{энергия}\cdot\text{время}$ - так называемая размерность действия ("действие" - новая физическая величина, вводимая в теоретической механике, и это слово надо воспринимать так же условно, как и слово "работа" в механике - то есть, без связи с бытовым смыслом слова).

[Ms-dos4]

Munin в сообщении #875416 писал(а):

$$\begin{cases}\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial(d\varphi/dt)}-\dfrac{\partial L}{\partial\varphi}=ml^2\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}+mgl\sin\varphi=0\end{cases}$$

Уравнений получилось одно, потому что фактически движение одномерное. Дальше это уравнение, конечно же, не удастся решить точно

Ну вообще-то можно...

[Munin]

Чёрт. Опять произнёс нечто, заученное с детства, не подумав. Пардон.

Покажете?

[Oleg Zubelevich]

разделить переменные в интеграле энергии. кстати сказать, для консервативных систем с одной степенью свободы интеграла энергии достаточно, уравнений Лагранжа не нужно

[Ms-dos4]

Munin
Да, конечно.
$\[\ddot \varphi + {\omega ^2}\sin \varphi = 0\]$
Умножаем уравнение на $\[{\dot \varphi }\]$ и выделяем полную производную
$\[\frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}{{\dot \varphi }^2} - {\omega ^2}\frac{d}{{dt}}\cos \varphi = 0\]$
Имеем $\[{{\dot \varphi }^2} - 2{\omega ^2}\cos \varphi = C\]$
Так как при $\[\varphi = {\varphi _{\max }}\]$
$\[\dot \varphi = 0\]$
имеем
$\[C = - 2{\omega ^2}\cos {\varphi _{\max }}\]$

$\[{{\dot \varphi }^2} = 2{\omega ^2}(cos\varphi - \cos {\varphi _{\max }})\]$

Т.е. $\[dt = \frac{{d\varphi }}{{\sqrt {2{\omega ^2}(cos\varphi - \cos {\varphi _{\max }})} }}\]$

Осталось привести интеграл к эллиптическому.
Применяем формулу двойного угла $\[cos\varphi = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\varphi }{2}\]$

$\[dt = \frac{{d\varphi }}{{2\omega \sqrt {{{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2} - {{\sin }^2}\frac{\varphi }{2}} }}\]$

Делаем замену $\[\sin \frac{\varphi }{2} = \sin \frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}\sin \theta \]$

Имеем $\[d(\sin \frac{\varphi }{2}) = \frac{1}{2}\cos \frac{\varphi }{2}d\varphi = \frac{1}{2}\sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}{{\sin }^2}\theta } d\varphi = \sin \frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}\cos \theta d\theta \]$

Т.е. $\[d\varphi = \frac{{2\sin \frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}\cos \theta d\theta }}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}{{\sin }^2}\theta } }}\]$

Тогда правая часть $\[\frac{{2\sin \frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}\cos \theta d\theta }}{{2\omega \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}{{\sin }^2}\theta } \sqrt {{{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2} - {{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}{{\sin }^2}\theta } }} = \frac{{d\theta }}{{\omega \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}{{\sin }^2}\theta } }}\]$

Теперь имеем эллиптический интеграл 1-го рода

$\[dt = \frac{{d\theta }}{{\omega \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}{{\sin }^2}\theta } }}\]$

По сути проблема решена. В качестве зависимости угла согласно определению синуса Якоби имеем $\[{\mathop{\rm sn}\nolimits} (\omega t,{\sin ^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}) = \sin \theta \] $

Проще найти период:
Если изначально пределы были от 0 до $\[{{\varphi _{\max }}}\]$ то по $\[\theta \]$ исходя из $\[\sin \frac{\varphi }{2} = \sin \frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}\sin \theta \]$ имеем пределы от 0 до $\[\frac{\pi }{2}\]$
Тогда период есть учетверённое время
$\[T = \frac{4}{\omega }\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d\theta }}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}{{\sin }^2}\theta } }}} \]$
Полный эллиптический интеграл можно разложить в ряд и имеем
$\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} (1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{(\frac{{(2k - 1)!!}}{{(2k)!!}})}^2}{{\sin }^{2k}}\frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}} )\]$


(Кстати говоря, этап понижения степени уравнения можно обойти, рассмотрев сразу первый интеграл системы - записав закон сохранения энергии).