Равномерное замыкание ступенчатых функций

[corvus42]

Читаю Lang "Real analysis". Там интеграл (как я понял, типа Римана) определяется так: сначала определяем его на пространстве ступенчатых функций (c sup-нормой) как сумму, а потом, используя линейность, расширяем интеграл на замыкание. Интегрируемые таким образом функции Ленг называет regulated. Собственно, мне интересно, что представляют собой эти функции. Точнее:

Если $E$ -- банахово пространство, то ступенчатой функцией называется функция $f:[a,b]\to E$ такая, что существует разбиение отрезка

$$a=a_0\le a_1\le \ldots\le a_n=b$$

и элементы $v_1,\ldots, v_n\in E$, при этом $f(t)=v_i$, если $t\in(a_{i-1},a_i)$.

Вопрос такой: что представляет собой замыкание пространства ступенчатых функций по sup-норме?

Вот, например, пусть $E=\mathbb R$. Я знаю критерий Лебега о том, что функция $f:[a,b]\to\mathbb R$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда $f$ ограничена и непрерывна почти всюду (по мере Лебега). Значит ли это что замыкание ступенчатых функций при $E=\mathbb R$ будет в точности пространство ограниченных функций $[a,b]\to \mathbb R$, непрерывных п.в.?

[SpBTimes]

Получите пространство ограниченных измеримых функций, насколько я понимаю.

[corvus42]

Измеримых в смысле лебеговой меры на $[a,b]$ и борелевой на $E$? Пусть $E=\mathbb R$, возьмём индикатор $\mathbb Q$, это измеримая функция, но как равномерный предел ступенчатых её не представишь, насколько я понимаю.

UPD. $E=\mathbb R$. Возьмём функцию $f:[a,b]\to\mathbb R$, равную $1$ в одной точке и $0$ в остальных. Она интегрируема по Риману (критерий Лебега), но её, как я понимаю, как равномерный предел ступенек нельзя представить. То есть не все интегрируемые по Риману функции будут в замыкании. Значит у Ленга там не Риманов интеграл?!...

[g______d]

SpBTimes в сообщении #874869 писал(а):

Получите пространство ограниченных измеримых функций, насколько я понимаю.

По равномерной норме – нет; как минимум потому, что равномерный предел интегрируемых по Риману функций интегрируем по Риману.

Получатся ли так все интегрируемые функции – пока не знаю.

-- Пт, 13 июн 2014 02:07:19 --

Не получатся. У равномерного предела ступенчатых функций множество точек разрыва не более чем счётно. По-видимому, это необходимое и достаточное условие.

[SpBTimes]

corvus42 в сообщении #874872 писал(а):

Она интегрируема по Риману (критерий Лебега), но её, как я понимаю, как равномерный предел ступенек нельзя представить.

Почему нельзя?
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$. Ну и понятно, что функция $f(x) = 1$ при $x = 0$, иначе $0$

-- Пт июн 13, 2014 12:37:38 --

g______d
А я прочитал не про ступенчатые функции, а про простые. Тьфу.

[ewert]

SpBTimes в сообщении #874883 писал(а):

$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$.

Она не фундаментальна.

[corvus42]

SpBTimes в сообщении #874883 писал(а):

Почему нельзя?
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$. Ну и понятно, что функция $f(x) = 1$ при $x = 0$, иначе $0$

Не совсем понимаю. При $n>2$ у нас же расстояние по sup-норме между $f$ и $f_n$ будет $1-\frac 1n\not\to 0$. Поясните, если не сложно, я функан только начал учить несколько дней назад.

[Oleg Zubelevich]

corvus42 в сообщении #874837 писал(а):

Вопрос такой: что представляет собой замыкание пространства ступенчатых функций по sup-норме?

подпространство в пространстве функций интегрируемых по Риману, оно даже как-то называется Л Шварц Анеализ том1

[corvus42]

Oleg Zubelevich в сообщении #874899 писал(а):

подпространство в пространстве функций интегрируемых по Риману

А можно ли определить интеграл в том же стиле, что и в первом сообщении, но чтобы все интегрируемые по Риману функции попали в замыкание? Может вместо ступенчатых взять другие функции или норму другую взять?

Oleg Zubelevich в сообщении #874899 писал(а):

оно даже как-то называется Л Шварц Анеализ том1

Ну оно и у Ленга как-то называется (space of regulated maps), но хочется чего-то более содержательного.

[Oleg Zubelevich]

у Шварца это пространство характеризуется в терминах точек разрыва функций

[corvus42]

Кажется нашел: функция $[a,b]\to F$ (где $F$ -- полное метрическое пространство) является равномерным пределом ступенчатых $\Leftrightarrow$ у неё все точки разрыва первого рода.

Почитал определение интеграла у Шварца. Но там иначе, чем у Ленга: сначала для неотрицательных $f:\mathbb R\to \mathbb R$ с компактным носителем определяется $\int^*f$ как инфимум интегралов по ступенчатым функциям, которые мажорируют $f$. Функция $g:\mathbb R\to F$ (где $(F,\|\cdot\|)$ -- банахово) интегрируема, если есть последовательность ступенчатых $(g_n)_{n\in\mathbb N}$, так что $\int^* \|g-g_n\|\to 0$.

В этом случае для $F=\mathbb R$ будет ли класс интегируемых функций совпадать с классом интегрируемых по Риману (ограниченные и непрерывные п.в.)? В любом случае у Шварца как-то сложновато, поэтому меня по прежнему интересует вопрос

corvus42 в сообщении #874907 писал(а):

можно ли определить интеграл в том же стиле, что и в первом сообщении, но чтобы все интегрируемые по Риману функции попали в замыкание? Может вместо ступенчатых взять другие функции или норму другую взять?

[ex-math]

corvus42
Посмотрите ссылку из этого сообщения: http://dxdy.ru/post826140.html#p826140.

[corvus42]

ex-math
Я верно понял, что если в

corvus42 в сообщении #874837 писал(а):

сначала определяем интеграл на пространстве ступенчатых функций (c sup-нормой) как сумму, а потом, используя линейность, расширяем интеграл на замыкание.

заменить ступенчатные функции на конечные линейные комбинации индикаторов измеримых по Жордану множеств, то получим интеграл Римана? А если не Жордана, а Лебега -- то интеграл Лебега?

[Oleg Zubelevich]

интеграл Лебега мы получим, только если замыкать по $sup$- норме линейные комбинации индикаторов измеримых по Лебегу множеств, то мы получим пространство $L^\infty$ это далеко не все суммируемые функции

[corvus42]

Ясно.