2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 09:29 
Читаю Lang "Real analysis". Там интеграл (как я понял, типа Римана) определяется так: сначала определяем его на пространстве ступенчатых функций (c sup-нормой) как сумму, а потом, используя линейность, расширяем интеграл на замыкание. Интегрируемые таким образом функции Ленг называет regulated. Собственно, мне интересно, что представляют собой эти функции. Точнее:

Если $E$ -- банахово пространство, то ступенчатой функцией называется функция $f:[a,b]\to E$ такая, что существует разбиение отрезка
$$a=a_0\le a_1\le \ldots\le  a_n=b$$
и элементы $v_1,\ldots, v_n\in E$, при этом $f(t)=v_i$, если $t\in(a_{i-1},a_i)$.

Вопрос такой: что представляет собой замыкание пространства ступенчатых функций по sup-норме?

Вот, например, пусть $E=\mathbb R$. Я знаю критерий Лебега о том, что функция $f:[a,b]\to\mathbb R$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда $f$ ограничена и непрерывна почти всюду (по мере Лебега). Значит ли это что замыкание ступенчатых функций при $E=\mathbb R$ будет в точности пространство ограниченных функций $[a,b]\to \mathbb R$, непрерывных п.в.?

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 11:28 
Аватара пользователя
Получите пространство ограниченных измеримых функций, насколько я понимаю.

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 11:50 
Измеримых в смысле лебеговой меры на $[a,b]$ и борелевой на $E$? Пусть $E=\mathbb R$, возьмём индикатор $\mathbb Q$, это измеримая функция, но как равномерный предел ступенчатых её не представишь, насколько я понимаю.

UPD. $E=\mathbb R$. Возьмём функцию $f:[a,b]\to\mathbb R$, равную $1$ в одной точке и $0$ в остальных. Она интегрируема по Риману (критерий Лебега), но её, как я понимаю, как равномерный предел ступенек нельзя представить. То есть не все интегрируемые по Риману функции будут в замыкании. Значит у Ленга там не Риманов интеграл?!...

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 11:56 
Аватара пользователя
SpBTimes в сообщении #874869 писал(а):
Получите пространство ограниченных измеримых функций, насколько я понимаю.


По равномерной норме – нет; как минимум потому, что равномерный предел интегрируемых по Риману функций интегрируем по Риману.

Получатся ли так все интегрируемые функции – пока не знаю.

-- Пт, 13 июн 2014 02:07:19 --

Не получатся. У равномерного предела ступенчатых функций множество точек разрыва не более чем счётно. По-видимому, это необходимое и достаточное условие.

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 12:23 
Аватара пользователя
corvus42 в сообщении #874872 писал(а):
Она интегрируема по Риману (критерий Лебега), но её, как я понимаю, как равномерный предел ступенек нельзя представить.

Почему нельзя?
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$. Ну и понятно, что функция $f(x) = 1$ при $x = 0$, иначе $0$

-- Пт июн 13, 2014 12:37:38 --

g______d
А я прочитал не про ступенчатые функции, а про простые. Тьфу. :oops:

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 12:39 
SpBTimes в сообщении #874883 писал(а):
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$.

Она не фундаментальна.

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 12:40 
SpBTimes в сообщении #874883 писал(а):
Почему нельзя?
$f_n(x) = 1 - \frac{1}{n}, x \in [- \frac{1}{n}; \frac{1}{n}]$, иначе $0$. Ну и понятно, что функция $f(x) = 1$ при $x = 0$, иначе $0$

Не совсем понимаю. При $n>2$ у нас же расстояние по sup-норме между $f$ и $f_n$ будет $1-\frac 1n\not\to 0$. :?: Поясните, если не сложно, я функан только начал учить несколько дней назад.

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 13:21 
corvus42 в сообщении #874837 писал(а):
Вопрос такой: что представляет собой замыкание пространства ступенчатых функций по sup-норме?

подпространство в пространстве функций интегрируемых по Риману, оно даже как-то называется Л Шварц Анеализ том1

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 13:53 
Oleg Zubelevich в сообщении #874899 писал(а):
подпространство в пространстве функций интегрируемых по Риману

А можно ли определить интеграл в том же стиле, что и в первом сообщении, но чтобы все интегрируемые по Риману функции попали в замыкание? Может вместо ступенчатых взять другие функции или норму другую взять?

Oleg Zubelevich в сообщении #874899 писал(а):
оно даже как-то называется Л Шварц Анеализ том1

Ну оно и у Ленга как-то называется (space of regulated maps), но хочется чего-то более содержательного.

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 19:56 
у Шварца это пространство характеризуется в терминах точек разрыва функций

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 20:20 
Кажется нашел: функция $[a,b]\to F$ (где $F$ -- полное метрическое пространство) является равномерным пределом ступенчатых $\Leftrightarrow$ у неё все точки разрыва первого рода.

Почитал определение интеграла у Шварца. Но там иначе, чем у Ленга: сначала для неотрицательных $f:\mathbb R\to \mathbb R$ с компактным носителем определяется $\int^*f$ как инфимум интегралов по ступенчатым функциям, которые мажорируют $f$. Функция $g:\mathbb R\to F$ (где $(F,\|\cdot\|)$ -- банахово) интегрируема, если есть последовательность ступенчатых $(g_n)_{n\in\mathbb N}$, так что $\int^* \|g-g_n\|\to 0$.

В этом случае для $F=\mathbb R$ будет ли класс интегируемых функций совпадать с классом интегрируемых по Риману (ограниченные и непрерывные п.в.)? В любом случае у Шварца как-то сложновато, поэтому меня по прежнему интересует вопрос
corvus42 в сообщении #874907 писал(а):
можно ли определить интеграл в том же стиле, что и в первом сообщении, но чтобы все интегрируемые по Риману функции попали в замыкание? Может вместо ступенчатых взять другие функции или норму другую взять?

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 21:49 
Аватара пользователя
corvus42
Посмотрите ссылку из этого сообщения: http://dxdy.ru/post826140.html#p826140.

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 23:25 
ex-math
Я верно понял, что если в
corvus42 в сообщении #874837 писал(а):
сначала определяем интеграл на пространстве ступенчатых функций (c sup-нормой) как сумму, а потом, используя линейность, расширяем интеграл на замыкание.

заменить ступенчатные функции на конечные линейные комбинации индикаторов измеримых по Жордану множеств, то получим интеграл Римана? А если не Жордана, а Лебега -- то интеграл Лебега?

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение13.06.2014, 23:51 
интеграл Лебега мы получим, только если замыкать по $sup$- норме линейные комбинации индикаторов измеримых по Лебегу множеств, то мы получим пространство $L^\infty$ это далеко не все суммируемые функции

 
 
 
 Re: Равномерное замыкание ступенчатых функций
Сообщение14.06.2014, 10:00 
Ясно.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group