Приводимые ниже данные из книг "К.Айерлэнд, М.Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел.1982г." и "Г.Хассе.Лекции по теории чисел. 1953г."
Более менее новых данных по этой проблеме я не нашёл.
1.Гауссова сумма кубического характера тесно связана с кубическим вычетом (характером). Она определяется равенством

где


- примарное.

- кубический характер
Известно, что

то есть
![$$
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \varepsilon ^k \sqrt[3]{{P\alpha }}
$ $$
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \varepsilon ^k \sqrt[3]{{P\alpha }}
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/b/b9b67100276f4e245a091298a12d738082.png)
Точное значение

оказалось проблемой, так как формула для этих сумм ( в отличии от квадратичных сумм Гаусса) не была найдена.
Хассе посетовал, что лучше бы огромная масса ферматистов ("профессионалов и дилетантов") занялись этой проблемой, так важной для теории чисел, чем...
Касселс высказал гипотезу по поводу точного выражения для этой суммы через эллиптические функции, которую в 1979г. доказал Мэттьюз, но она, по видимому, не помогла найти точное выражение для

.
2.В теме
Представление простого P=3n+1 формой P=A^2-AB+B^2 было получено соотношение
![$$\[
\eta _P ^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \to P = \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right)
\]$ $$\[
\eta _P ^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \to P = \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right)
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/8/f18f96c3b0e0d0312a5aff8f5a50415e82.png)


Простое

- его первообразный корень
Как видим, оно полностью совпадает с выражением для Гауссовой суммы кубического характера

Отсюда

Куммер показал

Следовательно

a)При

получим
![$$ \[
\eta _P + \bar \eta _P = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right) + \left( {\bar \varsigma _{\left( 0 \right)} + \bar \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2 + \bar \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon } \right)
\]$ $$ \[
\eta _P + \bar \eta _P = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon + \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon ^2 } \right) + \left( {\bar \varsigma _{\left( 0 \right)} + \bar \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2 + \bar \varsigma _{\left( 2 \right)} \varepsilon } \right)
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/d/4ede82bc1f395b40385d00c54164da3f82.png)
![$$ \[
\bar \varsigma _{\left( m \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{ - \frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + m} } } = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\left( {g^{\frac{{P - 1}}{6}} } \right)^3 \frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + m} } } = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3\left( {k + \frac{{P - 1}}{6}} \right) + m} } } = \varsigma _{\left( m \right)}
\]$ $$ \[
\bar \varsigma _{\left( m \right)} = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{ - \frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + m} } } = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\left( {g^{\frac{{P - 1}}{6}} } \right)^3 \frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + m} } } = \sum\limits_{k = 1}^{\frac{{P - 1}}{3}} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3\left( {k + \frac{{P - 1}}{6}} \right) + m} } } = \varsigma _{\left( m \right)}
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/6/e16fa6944957bb9d91d4d405021eafcb82.png)
Следовательно
![$$ \[
\varsigma _{\left( m \right)} = \bar \varsigma _{\left( m \right)} \to {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\varsigma _{\left( m \right)} } \right) = 0
\]$ $$ \[
\varsigma _{\left( m \right)} = \bar \varsigma _{\left( m \right)} \to {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\varsigma _{\left( m \right)} } \right) = 0
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e61c295c453f42335968814f246990f82.png)
Тогда получим
![$$ \[
\eta _P + \bar \eta _P = \left( {3\varsigma _{\left( 0 \right)} + 1} \right) - \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} + \varsigma _{\left( 1 \right)} + \varsigma _{\left( 2 \right)} + 1} \right) = 3\varsigma _{\left( 0 \right)} + 1
\]$ $$ \[
\eta _P + \bar \eta _P = \left( {3\varsigma _{\left( 0 \right)} + 1} \right) - \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} + \varsigma _{\left( 1 \right)} + \varsigma _{\left( 2 \right)} + 1} \right) = 3\varsigma _{\left( 0 \right)} + 1
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/1/081b475390ed60d5bb5960bbed5e0b4c82.png)
![$$ \[
3\varsigma _{\left( 0 \right)} + 1 = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} } } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}k^3 } } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi k^3 }}{P}} + i\sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\sin \frac{{2\pi k^3 }}{P}} = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi k^3 }}{P}}
\]$ $$ \[
3\varsigma _{\left( 0 \right)} + 1 = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} } } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}k^3 } } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi k^3 }}{P}} + i\sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\sin \frac{{2\pi k^3 }}{P}} = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi k^3 }}{P}}
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/b/32b5e7d47e17c117904ac163fd567e5b82.png)
![$$ \[
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \eta _P
\]$ $$ \[
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \eta _P
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/6/326db8a9fa1d7364e8770c21abbaacc382.png)
d)При

получим
![$$ \[
\varepsilon \eta _P + \varepsilon ^2 \bar \eta _P = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varepsilon + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2 + \varsigma _{\left( 2 \right)} } \right) + \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varepsilon ^2 + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2 + \varsigma _{\left( 2 \right)} } \right) = 3\varsigma _{\left( 2 \right)} + 1
\]$ $$ \[
\varepsilon \eta _P + \varepsilon ^2 \bar \eta _P = \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varepsilon + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2 + \varsigma _{\left( 2 \right)} } \right) + \left( {\varsigma _{\left( 0 \right)} \varepsilon ^2 + \varsigma _{\left( 1 \right)} \varepsilon ^2 + \varsigma _{\left( 2 \right)} } \right) = 3\varsigma _{\left( 2 \right)} + 1
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/f/44f05239ebabe380dddfe344a2ae490e82.png)
![$$ \[
3\varsigma _{\left( 2 \right)} + 1 = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + 1} } } = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} g} } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi gi}}{P}k^3 } } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi gk^3 }}{P}} \ne \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi k^3 }}{P}}
\]$ $$ \[
3\varsigma _{\left( 2 \right)} + 1 = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k + 1} } } = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi i}}{P}g^{3k} g} } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {e^{\frac{{2\pi gi}}{P}k^3 } } = \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi gk^3 }}{P}} \ne \sum\limits_{k = 0}^{P - 1} {\cos \frac{{2\pi k^3 }}{P}}
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/7/eb7fc5d1284666b79d4cb576f585e21582.png)
Аналогично и для
Таким образом, если где-нибудь не порылась собака, элементарно показано, что в Гауссовой сумме кубического характера

![$$ \[
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \sqrt[3]{{P\alpha }}
\]$ $$ \[
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \sqrt[3]{{P\alpha }}
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d7a1b8a880daa0480641dd1d439c3ab82.png)
Точная формула Гауссовой суммы
![$$ \[
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \eta _P
\]$ $$ \[
G\left( {\chi _{\left( \alpha \right)} } \right) = \eta _P
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/6/326db8a9fa1d7364e8770c21abbaacc382.png)