2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория групп
Сообщение10.06.2014, 23:25 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Задача. Доказать, что уравнение $a^{a^t} = a^2$ не разрешимо над циклической группой из $p$ элементов, порожденной элементом $a$. Степень в данной задаче понимается следующим образом $a^b = b^{-1}ab$, т.е. сопряжение.

Очевидно, что данное уравнение не разрешимо в группе, ибо все коммутирует, все степени сокращаются и уравнение приводится к виду $a = 1$ ($1$ - нейтральный эл-т$)$, что противоречит тому, что $a$ порождает группу из $p$ элементов. Как доказать, что не существует бОльшей группы, относительно которой данное уравнение разрешимо я не очень понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 08:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Foxer в сообщении #874175 писал(а):
Доказать, что уравнение $a^{a^t} = a^2$ не разрешимо над циклической группой из $p$ элементов, порожденной элементом $a$.
Foxer в сообщении #874175 писал(а):
Как доказать, что не существует бОльшей группы, относительно которой данное уравнение разрешимо я не очень понимаю.
Я не знаю термина "над группой", потому проверьте переформулировку:
Решить уравнение $a^taa^{-t}=a^2$ при $a\in H, t\in G, H\subseteq G, H\cong \mathbb{Z}_p, \langle a\rangle=H$, $G$ - группа, да?
Если да, то решение очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 10:05 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Sonic86, да, именно такая формулировка.
Если я правильно понял, то всю информацию, которую можно вытащить из данного уравнения - $a, a^2$, оба имеющие порядок $p$, сопряжены при помощи элемента $a^t$, также имеющего порядок $p$. Хм... где тут противоречие я сразу не вижу.

Замечу лишь, что если нет условия на то, что элементы сопряжены при помощи элемента порядка $p$, то такое уравнение разрешимо, т.е. например $a^t = a^2$. Это следует из того, что любая группа вкладывается в группу, где все элементы одинаковых порядков сопряжены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 14:02 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
У вас нормальное решение и никакие "большие" группы рассматривать не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 14:28 
Аватара пользователя


14/12/13
119
AV_77, Вы, наверное, не совсем поняли. Я показал, что данное уравнение не разрешимо в группе. Мне же нужно показать, что оно не разрешимо над группой.
Правильно формализовал задачу Sonic86:
Sonic86 в сообщении #874199 писал(а):
Решить уравнение $a^taa^{-t}=a^2$ при $a\in H, t\in G, H\subseteq G, H\cong \mathbb{Z}_p, \langle a\rangle=H$, $G$ - группа, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 14:52 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Тогда вы задачи формулировать не умеете, извините, но детали надо уточнять. Здесь возможны два варианта:
1) $t$ - некоторое целое число. В этом случае уравнение решений не имеет, как вы и доказали.
2) $t$ - некоторый элемент группы. В этом случае надо заметить, что $a^t$ - элемент порядка $p$, обозначим через $f$ соответствующий ему автоморфизм, то есть $f(x) = x^{a^t}$. Тогда $f^p(a) = a = \ldots$ здесь сообразите сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 15:27 
Аватара пользователя


14/12/13
119
AV_77, да, и правда достаточно ясно, спасибо! Для людей отдельно распишу.

Обозначим $a^t$ за $g$ - элемент порядка $p$. Тогда с одной стороны $f^p(a) = g^{-p}ag^p = a$, с другой же стороны, $g^{-p}ag^p = g^{-(p-1)}a^2g^{p-1} = \dots = a^{2^p}$
Вспоминаем малую теорему Ферма $2^{p - 1} = 1 (\mod p)$.
Отсюда $a^{2^p} = a^2$. Противоречие. Вроде бы не ошибся в выкладках, но лучше проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 15:42 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
А обязательно так сложно?
Почему бы $a^{\pm t}$ просто не сократить за счет коммутативности, а потом рассуждение то же самое, группа $G$ роли не играет. :roll:
Или я чего-то не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 15:47 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
В общем случае, может оказаться, что $a^t$ и $a$ не перестановочны. Например, так будет, если в $S_3$ взять $a = (1, 2)$ и $t = (1, 2, 3)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория групп
Сообщение11.06.2014, 17:33 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #874276 писал(а):
В общем случае, может оказаться, что $a^t$ и $a$ не перестановочны.
А, да, я туплю: я по инерции понял $a^t$ как $a$ в степени $t$, а $t$ на самом деле не сокращается.
Никогда мне обозначение
Foxer в сообщении #874175 писал(а):
$a^b = b^{-1}ab$
не нравилось :?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group