Теория групп

[Foxer]

Задача. Доказать, что уравнение $a^{a^t} = a^2$ не разрешимо над циклической группой из $p$ элементов, порожденной элементом $a$. Степень в данной задаче понимается следующим образом $a^b = b^{-1}ab$, т.е. сопряжение.

Очевидно, что данное уравнение не разрешимо в группе, ибо все коммутирует, все степени сокращаются и уравнение приводится к виду $a = 1$ ($1$ - нейтральный эл-т$)$, что противоречит тому, что $a$ порождает группу из $p$ элементов. Как доказать, что не существует бОльшей группы, относительно которой данное уравнение разрешимо я не очень понимаю.

[Sonic86]

Foxer в сообщении #874175 писал(а):

Доказать, что уравнение $a^{a^t} = a^2$ не разрешимо над циклической группой из $p$ элементов, порожденной элементом $a$.

Foxer в сообщении #874175 писал(а):

Как доказать, что не существует бОльшей группы, относительно которой данное уравнение разрешимо я не очень понимаю.

Я не знаю термина "над группой", потому проверьте переформулировку:
Решить уравнение $a^taa^{-t}=a^2$ при $a\in H, t\in G, H\subseteq G, H\cong \mathbb{Z}_p, \langle a\rangle=H$, $G$ - группа, да?
Если да, то решение очевидно.

[Foxer]

Sonic86, да, именно такая формулировка.
Если я правильно понял, то всю информацию, которую можно вытащить из данного уравнения - $a, a^2$, оба имеющие порядок $p$, сопряжены при помощи элемента $a^t$, также имеющего порядок $p$. Хм... где тут противоречие я сразу не вижу.

Замечу лишь, что если нет условия на то, что элементы сопряжены при помощи элемента порядка $p$, то такое уравнение разрешимо, т.е. например $a^t = a^2$. Это следует из того, что любая группа вкладывается в группу, где все элементы одинаковых порядков сопряжены.

[AV_77]

У вас нормальное решение и никакие "большие" группы рассматривать не надо.

[Foxer]

AV_77, Вы, наверное, не совсем поняли. Я показал, что данное уравнение не разрешимо в группе. Мне же нужно показать, что оно не разрешимо над группой.
Правильно формализовал задачу Sonic86:

Sonic86 в сообщении #874199 писал(а):

Решить уравнение $a^taa^{-t}=a^2$ при $a\in H, t\in G, H\subseteq G, H\cong \mathbb{Z}_p, \langle a\rangle=H$, $G$ - группа, да?

[AV_77]

Тогда вы задачи формулировать не умеете, извините, но детали надо уточнять. Здесь возможны два варианта:
1) $t$ - некоторое целое число. В этом случае уравнение решений не имеет, как вы и доказали.
2) $t$ - некоторый элемент группы. В этом случае надо заметить, что $a^t$ - элемент порядка $p$, обозначим через $f$ соответствующий ему автоморфизм, то есть $f(x) = x^{a^t}$. Тогда $f^p(a) = a = \ldots$ здесь сообразите сами.

[Foxer]

AV_77, да, и правда достаточно ясно, спасибо! Для людей отдельно распишу.

Обозначим $a^t$ за $g$ - элемент порядка $p$. Тогда с одной стороны $f^p(a) = g^{-p}ag^p = a$, с другой же стороны, $g^{-p}ag^p = g^{-(p-1)}a^2g^{p-1} = \dots = a^{2^p}$
Вспоминаем малую теорему Ферма $2^{p - 1} = 1 (\mod p)$.
Отсюда $a^{2^p} = a^2$. Противоречие. Вроде бы не ошибся в выкладках, но лучше проверить.

[Sonic86]

А обязательно так сложно?
Почему бы $a^{\pm t}$ просто не сократить за счет коммутативности, а потом рассуждение то же самое, группа $G$ роли не играет.
Или я чего-то не понимаю?

[AV_77]

В общем случае, может оказаться, что $a^t$ и $a$ не перестановочны. Например, так будет, если в $S_3$ взять $a = (1, 2)$ и $t = (1, 2, 3)$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #874276 писал(а):

В общем случае, может оказаться, что $a^t$ и $a$ не перестановочны.

А, да, я туплю: я по инерции понял $a^t$ как $a$ в степени $t$, а $t$ на самом деле не сокращается.
Никогда мне обозначение

Foxer в сообщении #874175 писал(а):

$a^b = b^{-1}ab$

не нравилось