diophante equation

[fibonacci]

Найдите все натуральные числа $a,b,c$ : $ (a^3+b)*(b^3+a)=2^c$

[marij]

Кажется что общих делителей у $ a , b $ быть не может. Значит каждый из них должен быть нечетным

[ИСН]

Следующая мысль: за исключением вырожденного случая (1,1) у нас $a+1$ и $b-1$ делятся на одну и ту же степень двойки.
То же самое про $a-1$ и $b+1$.

[Sonic86]

Комп говорит, что $(3;5)$ - решение!

[ИСН]

Короче, так. Оба сомножителя - тоже степени двойки. Пусть $b>a$. Обозначим $a^3+b$ как $2^{k+3}$ (это для удобства; почему так, будет ясно потом). Первая скобка ещё больше, т.е. она тоже делится на $2^{k+3}$. Выразив $a$ из одной скобки и подставив в другую, получим, что $b^9-b$ тоже на это делится, ну и то же самое для $a$. Выносим само число - оно нечётно; остаётся $2^{k+3}\mid(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)$. Две последние скобки и одна из оставшихся делятся на 2 лишь в первой степени. Значит, либо $a-1$, либо $a+1$ делится на $2^k$ (и то же самое для $b$, только наоборот). При этом $a^3<2^{k+3}$, что даёт нам довольно тесное ограничение. Всё, свели к конечному перебору.

[nnosipov]

А почему $a$ и $b$ не могут быть одновременно чётными?

[ИСН]

Чтобы $a^3+b$ равнялось степени двойки, $a^3$ и $b$ должны делиться на одну и ту же степень двойки. Но и наоборот.

[nnosipov]

Согласен.

[marij]

Непростая задача

[ИСН]

Раз решилась школьными методами - простая.
Но красивая.

[marij]

А для таких диофантовых уравнений наверное и нет пока еще методов решения

[scwec]

ИСН в сообщении #874338 писал(а):

решилась школьными методами

А разве решилась?
Даже предпологая, что $a=2^s-1,b=2^s+1$ доказательство того, что решение $(a,b)=(3,5)$ только одно, совсем не простое (сводится к поиску решений в натуральных числах уравнения $y^2=2^x-7$). К счастью, все они известны $(x,y)=(3,1),(4,3),(5,5),(7,11),(15,181)$.
А.Шинцель доказал, что других нет.

[nnosipov]

scwec в сообщении #874473 писал(а):

Даже предпологая, что $a=2^s-1,b=2^s+1$ доказательство того, что решения $(a,b)=(1,1),(3,5)$ и только они, совсем не простое (сводится к поиску решений в натуральных числах уравнения $y^2=2^x-7$).

Не обязательно к этому уравнению сводить. В подробности решения ИСН я не вдавался, но думаю, что там всё окей. В случае $a=2^s-1$, $b=2^s+1$ точно всё элементарно и просто.

[scwec]

nnosipov в сообщении #874498 писал(а):

точно всё элементарно и просто.

Давайте попробуем доказать элементарно и просто, что система уравнений $(2^s+1)^3+2^s-1=2^m, (2^s-1)^3+2^s+1=2^n$ имеет единственное решение в натуральных числах: $(s,m,n)=(2,7,5)$, что соответствует $(a,b)=(3,5)$ в исходном уравнении.
Я усмотрел только вариант рассмотрения известных решений уравнения $y^2=2^x-7$.
Возможно, есть вариант проще и элементарней.

[ИСН]

Разумеется, есть, и у меня он приведён. Что Вам не нравится? $a+1$ (или $a-1$, у меня не выяснено и неважно; в Вашей формулировке, конечно, "+") делится на $2^{n-3}$, при этом $a^3\le2^n$. Это даёт ограничение сверху на $n$, а дальше конечный перебор.