Кубическое уравнение

[Ssheh]

Otta в сообщении #873852 писал(а):

Который раз вынуждена повторить: не цепляйтесь за названия осей. Замените их на вообще другие, раз путаетесь. Переименуйте, как удобно. Это что-то особенное - ось $Oy$? Я ее назову по другому, задача уже будет иначе решаться?

Кажется я понял, что это просто x, который домножается на ф-ию, зависящую от x. В моем случае,я думаю, все будет выглядеть вот так:
$V_x = 2\pi \int\limits_{x_1}^{x_2} yf(y) dy$ , где $x_1,x_2$ экстремумы ф-ии $y^3-y=0$, т.к мы исследуем вдоль $Ox$ и $ f(y)=y^3-y$. Промежуток же такой получается?

[Otta]

Ssheh в сообщении #873853 писал(а):

где $x_1,x_2$ экстремумы ф-ии $y^3-y=0$,

Ну они тут причем? Как вообще переменная интегрирования - аргумент функции $f$ может меняться не там, где меняется аргумент, а совсем в другом месте.
Осознайте до конца. И лучше постройте схематически, что там будет вращаться, вокруг чего и что примерно получится. Это Вам поможет.

[Ssheh]

Otta в сообщении #873854 писал(а):

Ну они тут причем? Как вообще переменная интегрирования - аргумент функции $f$ может меняться не там, где меняется аргумент, а совсем в другом месте.
Осознайте до конца. И лучше постройте схематически, что там будет вращаться, вокруг чего и что примерно получится. Это Вам поможет.

Если все по аналогии заменить вокруг другой оси, то промежуток должен получиться по $y$, т.е от -1 до 1 ( при подстановке $x=0$) а все остальное в формуле выше уже правильно.

-- 10.06.2014, 03:18 --

Ssheh в сообщении #873855 писал(а):

Если все по аналогии заменить вокруг другой оси, то промежуток должен получиться по $y$, т.е от -1 до 1 ( при подстановке $x=0$) а все остальное в формуле выше уже правильно.

Но в этом случае получается, что площадь отрицательная...

[Otta]

Правильно, потому я и говорю - рисуйте. И заметьте, что если Вы будете интегрировать отрицательную функцию, интеграл прямо-таки обязан получиться отрицательным.

Можете додумать самостоятельно, как это исправить (это легко). Подумайте. Когда уж совсем устанете думать, можете почитать соотв. английский раздел вики, там все подробнее. Только как бы Вас это не запутало еще больше. ))

Кстати, там написан краткий набросок доказательства всех этих формул, откуда они берутся, что ИСН и пытался Вам объяснить.

Ну, по крайней мере, хоть с одной мертвой точки Вы сдвинулись, не так, так эдак, что радует.

ЗЫ Да, и не забудьте про второе ограничение.

[Ssheh]

Otta в сообщении #873857 писал(а):

Правильно, потому я и говорю - рисуйте. И заметьте, что если Вы будете интегрировать отрицательную функцию, интеграл прямо-таки обязан получиться отрицательным.

Можете додумать самостоятельно, как это исправить (это легко). Подумайте. Когда уж совсем устанете думать, можете почитать соотв. английский раздел вики, там все подробнее. Только как бы Вас это не запутало еще больше. ))

Прочитал Английский раздел, ничего подобного не нашел, там эта формула выводится из формулы $|f(x)-g(x)|$, где $g(x)=0$. В итоге получается что что-то не так с этой формулой. Конкретно мой пример :
$2\pi\int\limits_{x_1}^{x_2} y(y^3-y) dy =2\pi( \frac{y^5}{5} -\frac{y^3}{3}) |\limits_{x_1}^{x_2}$ По идее мои промежутки должны идти тоже по оси $Oy$, т.е промежуток $[-1;1]$ , но на нем функция отрицательная, логически остается проверить промежутки по $Ox$(которые вы сказали не подходят) и они действительно не подходят, т.к я опять получаю отрицательную площадь. В итоге я уже не знаю, что тут делать...

[ИСН]

Если Вам всё равно, что подставлять, то можете ещё проверить промежуток $(5,6)$. На нём функция хотя бы положительна.
А так я опять за своё: на какие фигуры мы нарезаем тело? каковы размеры этих фигур?

[Ssheh]

ИСН в сообщении #873917 писал(а):

Если Вам всё равно, что подставлять, то можете ещё проверить промежуток $(5,6)$. На нём функция хотя бы положительна.
А так я опять за своё: на какие фигуры мы нарезаем тело? каковы размеры этих фигур?

Я же уже написал какие промежутки могут быть, у нас вращение получается эллипс. Эта задача меня уже истощила, тут не может быть других промежутков кроме тех двух, тк фигура образуется в промежутке от $[-1;1]$ по оси y и на промежутке экстремумов на оси x, и получается, что либо формула неправильная либо я не понимаю какие промежутки использовать...

[ИСН]

Что Вы понимаете под эллипсом и как он может получаться при вращении?
С промежутками всё так, других тут быть не может. Причём их ещё и нельзя менять местами: y меняется в своих промежутках, а не в тех, в которых x.
А с формулой надо всё-таки понять: на какие фигуры мы нарезаем тело? каковы размеры этих фигур?

[Ssheh]

ИСН в сообщении #873940 писал(а):

Что Вы понимаете под эллипсом и как он может получаться при вращении?
С промежутками всё так, других тут быть не может. Причём их ещё и нельзя менять местами: y меняется в своих промежутках, а не в тех, в которых x.
А с формулой надо всё-таки понять: на какие фигуры мы нарезаем тело? каковы размеры этих фигур?

Так это правильно что промежуток мы берем по оси y, те $[-1;1]$? Но почему тогда площадь отрицательна? Значит формулу я составил неверно? Образуется что-то похожее на фигуру тор вогнутый сверху и снизу? но как это записать в формулу?

[ИСН]

Ssheh в сообщении #873942 писал(а):

Так это правильно что промежуток мы берем по оси y, те $[-1;1]$?

Да, конечно. Ведь таковы размеры нашей фигуры в этом направлении.

Ssheh в сообщении #873942 писал(а):

Но почему тогда площадь отрицательна?

А вот так!

Ssheh в сообщении #873942 писал(а):

Значит формулу я составил неверно?

Вы пока не составили никакой формулы.
Какое-то отдалённое сходство с тором, пожалуй, тут можно найти. Ну да не суть.
Чтобы найти объём тела с помощью интеграла, надо нарезать его на какие-то тонкие фигуры и записать магический крючок. Мы пробовали резать вдоль x, но там нет явной формулы. Значит, так нельзя. Значит, надо вдоль y. На какие фигуры мы нарезаем тело? Каковы размеры этих фигур?

[Ssheh]

ИСН в сообщении #873952 писал(а):

Вы пока не составили никакой формулы.
Какое-то отдалённое сходство с тором, пожалуй, тут можно найти. Ну да не суть.
Чтобы найти объём тела с помощью интеграла, надо нарезать его на какие-то тонкие фигуры и записать магический крючок. Мы пробовали резать вдоль x, но там нет явной формулы. Значит, так нельзя. Значит, надо вдоль y. На какие фигуры мы нарезаем тело? Каковы размеры этих фигур?

Теперь же мы ижет по оси y и вероятно будет ширина $dy$ и радиус $f(y)$.

[ИСН]

Мы идём по оси y и нарезаем фигуру (плоскую фигуру) на полоски шириной $dy$ и высотой $x(y)$. Потом вращаем. Напоминаю, что вращаем вокруг оси $x$. Какое тело порождает при вращении одна такая полоска? Какова его форма? Что это, как оно называется? Шар? Мандала? Фуфырь?
Ну и каков его объём, да.

[Ssheh]

ИСН в сообщении #873962 писал(а):

Мы идём по оси y и нарезаем фигуру (плоскую фигуру) на полоски шириной $dy$ и высотой $x(y)$. Потом вращаем. Напоминаю, что вращаем вокруг оси $x$. Какое тело порождает при вращении одна такая полоска? Какова его форма? Что это, как оно называется? Шар? Мандала? Фуфырь?
Ну и каков его объём, да.

Получается цилиндр с объемом : $\pi r^2h$

[ИСН]

У нас нет никакого $r$.
У нас нет никакого $h$.

[Ssheh]

ИСН в сообщении #873969 писал(а):

У нас нет никакого $r$.
У нас нет никакого $h$.

Тогда получается видимо $\pi x^2(y)dy$ ?