Дискретная случайная величина

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: В ящике лежит $n$ изделий, из которых одно бракованное. Изделия извлекаются одно за другим до тех пор, пока не будет вынуто бракованное изделие. Найти среднее значение числа вынутых изделий.

Пусть $X$ -- число вынутых изделий, тогда искомое среднее значение числа вынутых изделий - это математическое ожидание $M(X)$.

А вот тут я не могу понять, какое распределение имеет случайная величина $X$, склоняюсь к тому, что распределение геометрическое, так как испытания производятся по схеме Бернулли до первого положительного исхода, но я сомневаюсь ...(с другой стороны, вероятность достать бракованное изделие в первый раз: $p_{1} = \frac{1}{n}$, во второй $p_{2} = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} = \frac{1}{n}$ и в каждом опыте вероятность достать бракованное изделие одна и та же ).

Мат. ожидание геометрического распределения $M(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{n}} = n$.

То есть, получается, что среднее число вынутых изделий до появления бракованного равно числу всех изделий, что неверно...

Подскажите, пожалуйста, где я ошибся...

Спасибо!

[Otta]

Limit79 в сообщении #873237 писал(а):

А вот тут я не могу понять, какое распределение имеет случайная величина $X$, склоняюсь к тому, что распределение геометрическое, так как испытания производятся по схеме Бернулли до первого положительного исхода,

Что вдруг? У Вас же независимости нет.

Посчитайте для $n=2$ сперва, что ли.

[svv]

А вдруг такое рассуждение поможет?: Представьте, что сами Вы не в состоянии определить, которое из изделий бракованное. В ящике $n$ изделий, и Вы их все до единого вынимаете по очереди, потом раскладываете в ряд на столе, даже нумеруете... А затем приходит эксперт, подносит к каждому приборчик и говорит: бракованное $15$-е! Вы тогда делаете вывод: ага, значит, если бы я сам был экспертом, я бы их вынул $15$ штук.

Пусть $p_k$ — вероятность того, что эксперт скажет: «$k$-е бракованное». Можете что-то сказать?

[Limit79]

Otta
Для $n=2$:

$$P\{X=1\} = \frac{1}{2}$$

$$P\{X=2\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$$

В общем случае, вероятность вынуть бракованное изделие равна $ p = \frac{1}{n}$

$$M(X) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} p_{i} = \sum\limits_{i=1}^{n} i \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n} \cdot \frac{1+n}{2} \cdot n = \frac{n+1}{2}$$

?

-- 08.06.2014, 19:55 --

svv в сообщении #873253 писал(а):

Пусть $p_k$ — вероятность того, что эксперт скажет: «$k$-е бракованное». Можете что-то сказать?

Может быть

$$p_{k} = \frac{1}{n}$$

[svv]

Правильно! Вот, собственно, и всё.

[Limit79]

svv
А то, что это число получается нецелое, это нормально? Или же это как раз и среднее будет?

[Otta]

Нормально. У Вас тоже средний бал в аттестате нецелый, хотя оценки только целыми бывают.

[Aritaborian]

(Otta)

Otta в сообщении #873276 писал(а):

У Вас тоже средний бал в аттестате нецелый

А откуда вы знаете? ;-)

[Otta]

Aritaborian

(Оффтоп)

По почерку вижу.

[Limit79]

Otta
svv
Большое спасибо за помощь!

Теперь я стал сомневаться в предыдущей задачке дабы не создавать новую тему, озвучу ее здесь:

Вероятность попадания в кольцо при выполнении штрафного броска равна для данного баскетболиста $0.8$. Баскетболист выполняет последовательные броски до тех пор, пока не попадет в кольцо. Найдите распределения числа промахов.

$X$ - число промахов до первого попадания. С. в. $X$ распределена по геометрическому закону. Пусть $p=0.2$ -- вероятность промаха, $q=1-0.2=0.8$ -- вероятность попадания. Тогда:

$$p_{m} = P\{X=m\} = p^m \cdot q$$

, где

$$m=0,1,2...$$

Подскажите, пожалуйста, верно ли?

[Otta]

А ноль промахов может быть?

[Limit79]

Otta
Я там отредактировал

Да, может быть, ноль промахов -- это сразу попадание.

[Otta]

Теперь верно.

[Limit79]

Otta
Спасибо Вам!