Преобразование Фурье

[Vanilin]

Как найти преобразование Фурье функции $1/(1+x^2)$?
т.е посчитать $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ixy}\frac{ 1 }{ 1+x^2 }dx $
В тетради нашел решение ($F$ - преобразование Фурье)
$F(1/(1+x^2))=2/\sqrt{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(xy)}{x^2+1}dx=2/\sqrt{2\pi}\frac{\pi e^{-|y|}}{2}$ Не понятно последнее равенство?

[Otta]

ТФКП к Вашим услугам.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите собственные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Vanilin]

Otta в сообщении #872983 писал(а):

ТФКП к Вашим услугам.

Я понял что через ТФКП, в начальном посте я написал,что именно не понимаю

[Otta]

Ну это Вы потом добавили, а мое сообщение относилось к первоначальной редакции.
Можно и не сводить к косинусу. Как исходный интеграл считать с помощью ТФКП? ну стандарт же ж.

[Vanilin]

Otta в сообщении #873164 писал(а):

Ну это Вы потом добавили, а мое сообщение относилось к первоначальной редакции.
Можно и не сводить к косинусу. Как исходный интеграл считать с помощью ТФКП? ну стандарт же ж.

Ссылка на изображение удалена

Вот мое решение, объясните почему при $y<0$ и при $y>0$ на разных контурах смотрим? Что то связанно со сходимостью?

[Lia]

Vanilin
Замечание за использование изображений, заменяющих набор формул.

[Otta]

Vanilin в сообщении #873170 писал(а):

объясните почему при $y<0$ и при $y>0$ на разных контурах смотрим? Что то связанно со сходимостью?

Как могут быть связаны сходимость и аргумент заведомо ограниченной на прямой функции. Вряд ли Вам на занятии выводили готовую формулу заново. А формулы при разных знаках $y$ маленечко отличаются. Учебник-то никак не посмотреть? Там же все есть, и формулы, и при каких знаках куда.

[Vanilin]

Otta в сообщении #873184 писал(а):

Vanilin в сообщении #873170 писал(а):

объясните почему при $y<0$ и при $y>0$ на разных контурах смотрим? Что то связанно со сходимостью?

Как могут быть связаны сходимость и аргумент заведомо ограниченной на прямой функции. Вряд ли Вам на занятии выводили готовую формулу заново. А формулы при разных знаках $y$ маленечко отличаются. Учебник-то никак не посмотреть? Там же все есть, и формулы, и при каких знаках куда.

Не подскажите учебник?

[SpBTimes]

Можно и подифференцировать по параметру аккуратненько

[Otta]

Vanilin в сообщении #873653 писал(а):

Не подскажите учебник?

Да любой по ТФКП. Сидоров, Федорюк, Шабунин, например.
А можно и дифференцировать, да.

[Vanilin]

При $y<0$ в формуле возникает минус и получим $-2\pi i(-e^{-y}/2i)$, а при $y>0, 2\pi i (e^{y}/2i)$.А как получить именно такой ответ $\sqrt{\pi /2}(e^{-|y|})$?

[Otta]

Vanilin в сообщении #873688 писал(а):

При $y<0$ в формуле возникает минус и получим $-2\pi i(-e^{-y}/2i)$, а при $y>0, 2\pi i (e^{y}/2i)$.

Еще раз, плиз.

[Vanilin]

Otta в сообщении #873707 писал(а):

Vanilin в сообщении #873688 писал(а):

При $y<0$ в формуле возникает минус и получим $-2\pi i(-e^{-y}/2i)$, а при $y>0, 2\pi i (e^{y}/2i)$.

Еще раз, плиз.

Подробней? Ну вот при $y<0$ получаем $-2\pi i(\sum\limits_{ \operatorname{Im}<0}rez(R(z)e^{iyx}))$