Двойной интеграл в полярных координатах

[Otta]

Limit79 в сообщении #872306 писал(а):

коль Вы говорите, что я не осилю, то пытаться не буду.

Вот те здрасьте. Я такого не говорю. Это Вам послышалось.
И не надо мне меня обильно цитировать. Явно не выразится и не может зависеть от одной переменной - это где имение, а где вода.
Вы лучше повторите неявно заданные функции и посмотрите, например, от скольких и от каких переменных зависит неявно заданная уравнением

Limit79 в сообщении #872286 писал(а):

$$r \cos(\varphi) = \arcsin(r \sin(\varphi))$$

функция $r$.

[Limit79]

Хорошо, посмотрю.

[Limit79]

Otta в сообщении #872307 писал(а):

от скольких и от каких переменных зависит неявно заданная уравнением

От одной, от $\varphi$.

Вопрос касательно арксинуса и арккосинуса в полярных координатах, я вроде уяснил.

Теперь проблема другая

Для синего графика пределы по $\varphi$ я нашел? А вот верхний предел для красного графика - проблема.

Я предполагаю, чисто графически, что там будет прямая $y=x$, то есть верхний предел по $\varphi$ для красного графика будет $\frac{\pi}{4}$, но как бы это обосновать?

[Otta]

Не-не. Угол $\pi/4$ проведите.

[Limit79]

Otta
Провел. Это прямая $y=x$. Вроде похоже на правду... или нет?

[Otta]

Похоже. Конечно, хорошо бы понимать, почему это так. )) Ну ладно, пишите интеграл, да и все.

[Limit79]

Otta
Насчет интеграла понял, просто указывать в пределах $r_{1}(\varphi)$ и $r_{2}(\varphi)$, где $r_{1}(\varphi)$ и $r_{2}(\varphi)$ заданы неявно уравнениями...

Спасибо!

[Otta]

Хм. Ну ладно, сама так сама. ))

[svv]

Limit79 в сообщении #872289 писал(а):

записать интеграл в полярной системе координат.

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} dx \int\limits_{0}^{\sin(x)} f(x,y) dy + \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} dx \int\limits_{0}^{\cos(x)} f(x,y) dy $$

$$\int\limits_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{4}} d\varphi \int\limits_{\rho=0}^{\sin \varphi} f(\varphi,\rho) d\rho + \int\limits_{\varphi=\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int\limits_{\rho=0}^{\cos \varphi} f(\varphi,\rho) d\rho $$

Интересно, какой будет реакция преподавателя.

[Otta]

svv На самом деле, здравое зерно в этом есть, вот с какой точки зрения: гораздо более осмысленным заданием будет записать этот интеграл в декартовых координатах, в предположении, что исходная область задана в полярных.