Двойной интеграл в полярных координатах

[Limit79]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, как записать интеграл

$$\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} dy \int\limits_{\arcsin(y)}^{\arccos(y)} f(x,y) dx$$

в полярной системе координат?

Арксинус:

$$r \cos(\varphi) = \arcsin(r \sin(\varphi))$$

Из этого уравнения не получается явно выразить $r$

[Otta]

Сумасшедшее какое-то задание. Вы в нем уверены?
Как-то написать можно, но это будет абсолютно неинформативно.

[Limit79]

Otta
Задание в оригинале:

Начертить область, на которую распространен двойной интеграл, изменить порядок интегрирования и записать интеграл в полярной системе координат.

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} dx \int\limits_{0}^{\sin(x)} f(x,y) dy + \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} dx \int\limits_{0}^{\cos(x)} f(x,y) dy $$

-- 06.06.2014, 04:22 --

А если как-то можно, то как?

[Otta]

Грубо говоря, так и писать, мол, для $\varphi$ таких-то $r$ изменяется в диапазоне от $r_1(\varphi)$ до $r_2(\varphi)$, где последние функции неявно задаются уравнением таким-то.

Но это вандализм.

[Limit79]

Otta
Но так как явно не выразить ни $\varphi$, ни $r$, то интеграл записать нельзя?

Я тут подумал, вот есть уравнение $z=x^x$, из него можно явно выразить $x$ через W-функцию Ламберта.

Есть уравнение $r \cos(\varphi) = \arcsin(r \sin(\varphi))$, из которого может быть можно явно выразить или $\varphi$ или $r$ с помощью каких-нибудь специальных функций, но не факт, что такие функции есть, и, следовательно не факт, что явно что-то можно выразить, я верно думаю? Или 100% можно как-то явно выразить?

[Otta]

Явно не выразится. Попробуйте решить уравнение $\sin \sqrt 2 x= x/2$. Это того же сорта.

[Limit79]

Otta
Значит и интеграл не записать и такое бывает...

Спасибо Вам!

[Otta]

Еще раз: сильно расстаравшись, записать можно, используя неявно заданные функции. Но с практической точки зрения это бессмысленно.

[Limit79]

Otta в сообщении #872296 писал(а):

записать можно, используя неявно заданные функции.

А какая идея? Ведь для пределов интеграла нужно явное задание, как поступать с неявными функциями?

[Otta]

Неявно заданная функция хуже явно заданной только тем, что неявная. Идеи никакой, я уже все написала чуть выше: post872291.html#p872291
Расставлять пределы для $\varphi$, смотреть, как меняется $r$ и каким уравнением задается соотв. неявная функция.

[Limit79]

Otta
Аа... Это я понял, а вычислить подобный интеграл же нельзя?

-- 06.06.2014, 04:58 --

Ведь запись

$$\int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}} d \varphi \int\limits_{f_{1}(r,\varphi)}^{f_{2}(r,\varphi)} dr $$

мягко говоря некорректна.

[Otta]

Limit79 в сообщении #872300 писал(а):

мягко говоря некорректна.

Естественно. Потому пишите корректно.

Limit79 в сообщении #872300 писал(а):

Это я понял, а вычислить подобный интеграл же нельзя?

У Вас подынтегральная функция все равно не задана.

-- 06.06.2014, 07:05 --

PS

(Оффтоп)

Ну, я вижу, это у Вас надолго, неявные функции Вы не понимаете, а мне на работу.

[Limit79]

Otta в сообщении #872303 писал(а):

У Вас подынтегральная функция все равно не задана.

А если бы была, единица, например?

-- 06.06.2014, 05:08 --

Я просто не понимаю, в формулу Ньютона-Лейбница мы должны подставить $r( \varphi) = f(\varphi)$, причем $f$ обязательно должна быть одной переменной, у нас же такого не может быть, значит и подставить нельзя, более того, вычислить.

Otta
И на этом большое спасибо!

[Otta]

Limit79 в сообщении #872304 писал(а):

А если бы была, единица, например?

То такая запись (даже правильная) была бы не полезна. Я об этом и говорю, что бессмысленное это действо. Задача ведь не из задачника, так? В задачнике, если его найти, есть ее первая часть - поменять порядок интегрирования, а вторая - это уже самодеятельность.

-- 06.06.2014, 07:11 --

Limit79 в сообщении #872304 писал(а):

у нас же такого не может быть

Чего это вдруг?

[Limit79]

Otta
Это все верно, тут более спортивный интерес, но коль Вы говорите, что я не осилю, то пытаться не буду.

-- 06.06.2014, 05:12 --

Limit79 в сообщении #872304 писал(а):

причем $f$ обязательно должна быть одной переменной, у нас же такого не может быть

Otta в сообщении #872305 писал(а):

Чего это вдруг?

Otta в сообщении #872294 писал(а):

Явно не выразится.