2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение05.06.2014, 21:06 
Аватара пользователя
Пусть $f(x)$ - дифференцируемая на $[0,a]$ функция, $\int\limits_{0}^{a}{f(x)}dx=S$, $f(a)=0$. Требуется решить такую задачу: $\max{|f'(x)|}\rightarrow \min$ (найти нужно $f(x)$).

 
 
 
 Re: минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение05.06.2014, 21:17 
Аватара пользователя
Имеется в виду модуль производной, не так ли?

 
 
 
 Re: минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение05.06.2014, 21:34 
Аватара пользователя
Ответ очевиден, разве нет? Искомая функция -- прямая проходящая через точки $\left(0,\frac{2S}{a}\right)$ и $(a,0)$.

 
 
 
 Re: минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение05.06.2014, 21:38 
Аватара пользователя
demolishka, добавил модуль. Есть подозрение, что это прямая.

-- Чт июн 05, 2014 21:40:27 --

B@R5uk в сообщении #872190 писал(а):
Ответ очевиден, разве нет? Искомая функция -- прямая проходящая через точки $\left(0,\frac{2S}{a}\right)$ и $(a,0)$.
Не получается доказать.

 
 
 
 Re: минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение05.06.2014, 21:50 
Аватара пользователя
Не знаю, как правильно навести строгость в доказательстве, но идея состоит в том, что пытаясь варьировать эту прямую (экстремаль) мы всегда придём к тому, что максимум производной возрастёт. Это происходит по той причине, что вариация искомой функции всегда будет иметь как области возрастания, так и области убывания (которые и ухудшат найденное решение). А это в свою очередь происходит по двум причинам: 1) интеграл вариации найденной функции должен быть равен нулю, а так же 2) вариация в точке $a$ равна нулю. Другими словами, не получится подобрать такую вариацию, которая удовлетворяет этим двум условиям и при этом строго возрастает (кстати, я здесь везде молчаливо предполагаю, что $S>0$). Я не слишком запутанно объяснил?

 
 
 
 Re: минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение05.06.2014, 22:05 
Аватара пользователя
У меня похожие рассуждения, спасибо. Кстати, модуль, по-моему, не важен.

 
 
 
 Re: минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение06.06.2014, 19:37 
Аватара пользователя
Можно попробовать решать, оценивая интеграл. Интеграл от функции записать как двойной интеграл от производной. Тем самым оценивая интеграл через максимум модуля производной. Оценка достигается на линейной функции.

-- Пт июн 06, 2014 20:51:21 --

Точнее, значение функии оценить через краевое значение и производную функции. И подставить эту оценку в интеграл. Получим оценку интеграла.

 
 
 
 Re: минимизировать максимум производной при заданном интеграле
Сообщение06.06.2014, 21:45 
Вариации, краевые значения...

Возьмём для затравки тот треугольник. Любая другая кривая с той же площадью подграфика будет где-то ниже, а где-то выше границы треугольника. А в нуле будет с этой границей совпадать. Ну так и тупо по теореме Лагранжа на участке от нуля до той точки, где она выше, найдётся точка со слишком большим значением производной.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group