минимизировать максимум производной при заданном интеграле

[Spook]

Пусть $f(x)$ - дифференцируемая на $[0,a]$ функция, $\int\limits_{0}^{a}{f(x)}dx=S$, $f(a)=0$. Требуется решить такую задачу: $\max{|f'(x)|}\rightarrow \min$ (найти нужно $f(x)$).

[demolishka]

Имеется в виду модуль производной, не так ли?

[B@R5uk]

Ответ очевиден, разве нет? Искомая функция -- прямая проходящая через точки $\left(0,\frac{2S}{a}\right)$ и $(a,0)$.

[Spook]

demolishka, добавил модуль. Есть подозрение, что это прямая.

-- Чт июн 05, 2014 21:40:27 --

B@R5uk в сообщении #872190 писал(а):

Ответ очевиден, разве нет? Искомая функция -- прямая проходящая через точки $\left(0,\frac{2S}{a}\right)$ и $(a,0)$.

Не получается доказать.

[B@R5uk]

Не знаю, как правильно навести строгость в доказательстве, но идея состоит в том, что пытаясь варьировать эту прямую (экстремаль) мы всегда придём к тому, что максимум производной возрастёт. Это происходит по той причине, что вариация искомой функции всегда будет иметь как области возрастания, так и области убывания (которые и ухудшат найденное решение). А это в свою очередь происходит по двум причинам: 1) интеграл вариации найденной функции должен быть равен нулю, а так же 2) вариация в точке $a$ равна нулю. Другими словами, не получится подобрать такую вариацию, которая удовлетворяет этим двум условиям и при этом строго возрастает (кстати, я здесь везде молчаливо предполагаю, что $S>0$). Я не слишком запутанно объяснил?

[Spook]

У меня похожие рассуждения, спасибо. Кстати, модуль, по-моему, не важен.

[мат-ламер]

Можно попробовать решать, оценивая интеграл. Интеграл от функции записать как двойной интеграл от производной. Тем самым оценивая интеграл через максимум модуля производной. Оценка достигается на линейной функции.

-- Пт июн 06, 2014 20:51:21 --

Точнее, значение функии оценить через краевое значение и производную функции. И подставить эту оценку в интеграл. Получим оценку интеграла.

[ewert]

Вариации, краевые значения...

Возьмём для затравки тот треугольник. Любая другая кривая с той же площадью подграфика будет где-то ниже, а где-то выше границы треугольника. А в нуле будет с этой границей совпадать. Ну так и тупо по теореме Лагранжа на участке от нуля до той точки, где она выше, найдётся точка со слишком большим значением производной.