Потенциал поля равномерно движущегося магнитного диполя

[illuminates]

Здравствуйте. Требуется помощь в решении задачи. Желательно скорая.
Условие:
Получить потенциалы поля равномерно движущегося магнитного диполя с моментом $m$ и скоростью $V$. При условии, что &m& перпендикулярно $v$
Моё решение:
Вроде бы казалось простая задача. Берем формулу преобразования намагниченности (считаем что наш объект, создающий поле, единичного объёма, поэтому считаем что намагниченность равна магнитному дипольному моменту):
$\mathbf{m}=\mathbf{M}=\gamma(\mathbf{M'}-1/c[\mathbf{V},\mathbf{P'}])-(\gamma-1)\mathbf{V}(\mathbf{V}\mathbf{M'})/V^2$
Для нашей задачи $P'=0$ и $\mathbf{V}\mathbf{M'}=0$. Поэтому преобразования ведутся по формуле: $\mathbf{m}=\mathbf{M}=\gamma \mathbf{M'}$
Излучение магнитного диполя может быть найдено по формулам:
$\mathbf{E}=[\mathbf{n},\mathbf{\ddot{m}}]/c^2 r$ и $\mathbf{H}=[\mathbf{n},\mathbf{E}]$ Но у нас m является изначально константой, поэтому от дифференцирования по времени получаем нуль. Следовательно и поля нулевые. Где я ошибаюсь?
Ответ из сборника задач по электродинамике Ботыгин, Топтыгин:
$A=[\mathbf{m},\mathbf{r}^* ]/(r^* )^3 $ ; $ \varphi=\mathbf{v}\mathbf{A}/c $

[DimaM]

Не пробовали сперва для неподвижного взять, а потом в движущуюся СО пересчитать?

[svv]

Почти независимо от того, о чем спрашивается в задаче, хочется сконструировать инвариантное выражение для 4-потенциала магнитного диполя, что-то вроде:
$A_i=\dfrac{\varepsilon_{ijk\ell} u^j m^k R^\ell}{(u_\ell R^\ell)^3}$
$u^j$ — 4-скорость диполя;
$m^k$ — 4-вектор магнитного момента; в системе покоя диполя пространственные компоненты как у вектора $\mathbf m$, временная $0$; удовлетворяет условию $u_k m^k=0$;
$R^\ell$ — изотропный вектор, соединяющий диполь в запаздывающей 4-точке с 4-точкой наблюдения; удовлетворяет условию $R_\ell R^\ell=0$;
$c=1$, $\sqrt{-g}=1$.

Если в системе покоя диполя формула дает то, что нужно: $\mathbf A=\frac{[\mathbf m, \mathbf r]}{r^3}, \varphi=0$, она справедлива и во всех других.

[illuminates]

svv
Очень интересное выражение. Хотя я даже не доконца понимаю как её привести к виду $ \varphi=0$, все равно хочется спросить о том справедлива ли она и в лабораторной системе отчёта?

[svv]

Сначала про систему покоя диполя. Здесь $\varphi=0$ вытекает из таких соображений.

Мы ищем $\varphi=A_0$. Тогда индекс $i=0$. В числителе $\varepsilon_{ijk\ell} u^j m^k R^\ell$. Символ Леви-Чивита $\varepsilon_{ijk\ell}$ только тогда отличен от нуля, когда все его индексы принимают различные значения. То есть при $i=0$ значения $j$ должны быть $1,2,3$, иначе сразу нуль. Но так как диполь покоится, $u^0=1$, $u^1=u^2=u^3=0$.

Формула справедлива и в лабораторной системе отсчета. Она не требует, чтобы скорость диполя имела определенное направление (например, по оси $x$). Также не требуется, чтобы вектор $\mathbf m$ был перпендикулярен скорости диполя. Единственное, что нужно — выразить четырехмерные величины через привычные трехмерные.

Извлечем из формулы одно следствие. Ясно, что $A_i u^i$ — инвариант. Но в системе покоя легко видеть, что это выражение равно нулю (см. рассуждения выше: $u^i\neq 0$ только при $i=0$, но тогда $A_i=0$). Значит, в любой системе $A_i u^i=0$, или (далее предполагается, что СК галилеева)
$A^0 u^0-A^1 u^1-A^2 u^2-A^3 u^3=0$
Заглядываем в ЛЛ2:
$u^i=(\gamma, \gamma\frac{\mathbf v}c)$ (параграф 7, четырехмерная скорость)
$A^i=(\varphi, \mathbf A)$ (параграф 16, четырехмерный потенциал поля)
Отсюда $\varphi = \mathbf A \cdot\mathbf v/c$, как и требуется.

Скажите, а какой номер этой задачи в Батыгине-Топтыгине? Я не нашел. Про электрический диполь нашел, а про магнитный нет.

[illuminates]

Понятно.

Номер задачи 613

[illuminates]

svv у меня кстати получилось для векторного потенциала не $\mathbf A=\frac{[\mathbf m, \mathbf r]}{r^3}$ из вашей формулы, а $\mathbf A=\frac{[\mathbf m, \mathbf r]}{(r^0)^3}$
если $R^l=(r^0,\mathbf r)$

[svv]

Это правильно, это то же самое. Вектор $R^i$, соединяющий диполь в запаздывающий момент времени и точку наблюдения в текущий, должен быть изотропным, т.е.
$R_i R^i = (R^0)^2-(R^1)^2-(R^2)^2-(R^3)^2=(R^0)^2-\mathbf R\cdot\mathbf R=0$
Отсюда $R^0=\sqrt{\mathbf R\cdot\mathbf R}=R$, что физически означает, что запаздывающий момент настолько раньше текущего (на $R^0$), чтобы свет за это время как раз успел пролететь расстояние $R$ от диполя в запаздывающий момент до точки наблюдения.