Дифф. уравнение, особое решение

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такой диффур

$$y' = \frac{1+2y^2}{2x+x^2}$$

Его решение

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \tg \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \ln \left | \frac{x}{x+2} \right | + C \right )$$

если переписать исходное уравнение в виде

$$\frac{dx}{dy}= \frac{2x+x^2}{1+2y^2}$$

то видно, что $x=0$ является решением, то есть общее решение исходного уравнение есть совокупность из

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \tg \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \ln \left | \frac{x}{x+2} \right | + C \right )$$

и

$$x=0$$

Подскажите, пожалуйста, верно ли это?

Просто помню, что задавал подобный вопрос, и кто-то мне сказал, мол мы ищем $y(x)$, а $x(y)$ нас не интересуют, хотя, может я неправильно понял.

В сборнике Филиппова в ответах есть подобные случаи, где $y(x)=f(x)$ и $x=C$.

-- 05.06.2014, 18:05 --

PS. С другой стороны, при $x=0$ исходное уравнение теряет смысл, как-то так

[Otta]

Limit79 в сообщении #872100 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, верно ли это?

А Вы в исходное подставьте.

[Limit79]

Otta
Я там дописал еще

Limit79 в сообщении #872100 писал(а):

С другой стороны, при $x=0$ исходное уравнение теряет смысл, как-то так

То есть

$$y' = \frac{1+2y^2}{2x+x^2}$$

не равносильно

$$\frac{dx}{dy}= \frac{2x+x^2}{1+2y^2}$$

а равносильно

$$\frac{dx}{dy}= \frac{2x+x^2}{1+2y^2}$$

при ограничении

$$x \neq C$$

?

[Otta]

Ну да. Зачем только это Вам здесь?

[Limit79]

Otta в сообщении #872108 писал(а):

Ну да. Зачем только это Вам здесь?

Это я опровергаю, что $x=0$ может быть решением.

Значит, не может.

Otta
Спасибо большое!

[Otta]

Limit79 в сообщении #872109 писал(а):

Это я опровергаю, что $x=0$ может быть решением.

Для этого не нужны сведения о равносильности уравнений, достаточно результатов прямой подстановки в исходное.

[Limit79]

Otta

(Оффтоп)

$\infty = \infty$

Я понял, что для исходного уравнения $x=0$ не может быть, спасибо!

[Someone]

А для перевёрнутого решением является ещё $x=-2$.