2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 17:00 
Здравствуйте!

Есть такой диффур $$y' = \frac{1+2y^2}{2x+x^2}$$

Его решение $$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \tg \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \ln \left | \frac{x}{x+2} \right | + C \right )$$

если переписать исходное уравнение в виде $$\frac{dx}{dy}= \frac{2x+x^2}{1+2y^2}$$

то видно, что $x=0$ является решением, то есть общее решение исходного уравнение есть совокупность из $$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \tg \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \ln \left | \frac{x}{x+2} \right | + C \right )$$ и $$x=0$$

Подскажите, пожалуйста, верно ли это?

Просто помню, что задавал подобный вопрос, и кто-то мне сказал, мол мы ищем $y(x)$, а $x(y)$ нас не интересуют, хотя, может я неправильно понял.

В сборнике Филиппова в ответах есть подобные случаи, где $y(x)=f(x)$ и $x=C$.

-- 05.06.2014, 18:05 --

PS. С другой стороны, при $x=0$ исходное уравнение теряет смысл, как-то так :|

 
 
 
 Re: Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 17:05 
Limit79 в сообщении #872100 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, верно ли это?

А Вы в исходное подставьте.

 
 
 
 Re: Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 17:14 
Otta
Я там дописал еще :-)
Limit79 в сообщении #872100 писал(а):
С другой стороны, при $x=0$ исходное уравнение теряет смысл, как-то так :|



То есть $$y' = \frac{1+2y^2}{2x+x^2}$$ не равносильно $$\frac{dx}{dy}= \frac{2x+x^2}{1+2y^2}$$ а равносильно $$\frac{dx}{dy}= \frac{2x+x^2}{1+2y^2}$$ при ограничении $$x \neq C$$?

 
 
 
 Re: Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 17:18 
Ну да. Зачем только это Вам здесь?

 
 
 
 Re: Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 17:20 
Otta в сообщении #872108 писал(а):
Ну да. Зачем только это Вам здесь?

Это я опровергаю, что $x=0$ может быть решением.

Значит, не может.

Otta
Спасибо большое!

 
 
 
 Re: Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 17:28 
Limit79 в сообщении #872109 писал(а):
Это я опровергаю, что $x=0$ может быть решением.

Для этого не нужны сведения о равносильности уравнений, достаточно результатов прямой подстановки в исходное.

 
 
 
 Re: Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 17:30 
Otta

(Оффтоп)

$\infty = \infty$
:D


Я понял, что для исходного уравнения $x=0$ не может быть, спасибо!

 
 
 
 Re: Дифф. уравнение, особое решение
Сообщение05.06.2014, 21:09 
Аватара пользователя
А для перевёрнутого решением является ещё $x=-2$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group